Soit à diviser 942 ,84059 par

On supprime la virgule du diviseur pour le rendre entier, et on la recule d’autant de rangs vers la droite dans le dividende, que le diviseur renferme de chiffres décimaux . De cette manière, on ne change pas je quotient, puisque le dividende et le diviseur se trouvent multipliés par un même nombre 1000; mais le reste est multiplié par ce même nombre (68). La question est donc ramenée à diviser 942840,69 par 86192 ; c’est le cas précédent.

On trouve pour quotient 10,93 et pour reste 762,03 ( 178 ). Ce , dernier résultat doit être divisé par 1000 : le reste de la division proposée est, par suite, 0,76203.

On peut remarquer que le reste de la division de deux nombres décimaux doit toujours représenter des unités de même ordre que le dernier chiffre décimal du dividende tel qu'il est donné; et que le dernier chiffre décimal du quotient est de l’ordre du dernier chiffre décimal du dividende modifié de manière que le diviseur soit entier.

Soit encore à diviser 286,73 par8,946i. On regardera le dividende proposé comme égal à 286,7300 et, en appliquant la règle, on sera conduit à diviser les deux nombres entiers 2867600 et 89461.

Le quotient sera donc 3 i et le reste 8,4009.

180 . Il résulte des règles posées aii n" 175 que le (|uolient est toujours obtenu à une unité près de l’ordre auquel on s’arrête. On peut, en comparant le reste trouvé au diviseur, obtenir le quotient à une demi-unité près du même ordre, par défaut ou par excès. En effet, si le reste est plus petit que la moitié du diviseur, la fraction qu'il faudrait ajouter au quotient

AKITHMÉTIQX.E. 9*

|)Ourle compléler(loi), sera plus petite qu’une demi-unité du dernier ordre conservé. Si le reste est plus grand que la moitié du diviseur, cette fraction sera plus grande qu’une demiunité du même ordre, et, dans ce cas, il faudra forcer l’unité sur le dernier chiffre du quotient pour l’obtenir à une demiunité près de cet ordre par excès. Dans le premier exenqile considéré ( 178 ) j le reste 23 étant inférieur à la moitié du divi- „ , . 0.02.3 ; .

seur 78, la fraction complementaire — sera inferieure a un

deini-millième. Dans le second exemple (179),«le reste 76203 surpassant la moitié du diviseur 86192, la fraction complémentaire sera plus grande qu’un demi-centième. Dans le

premier cas, on dira que le quotient est 6,328 à un demi-millième près par défaut. Dans le second, on prendra pour quotient 10,94, et l’on dira qu’il est obtenu à un demi-centième près par excès.

181. 11 résulte de ce qui précède la possibilité de trouver le quotient de la division de deux nombres entiers, avec telle approximation décimale qu’on voudra. 11 suffit pour cela de transformer le dividende en un nombre décimal dont le dernier chiffre soit du même ordre que l’approximation indiquée, en ajoutant à sa droite un nombre convenable de zéros. Si l’on demande, par exemple, le quotient de 286 par 7 à 0,001 près, on divisera 285,000 par 7. Dans la pratique, on divise d’abord 285 par 7 : on trouve pour quotient 4o et pour reste 5. On place alors une virgule au quotient et l’on continue la division en écrivant un zéro à la droite du reste 5 et de ceux qu’on obtient successivement, jusqu’à ce qu’on atteigne au quotient l’ordre des millièmes. Par suite, le quotient de 285 par 7 à 0,001 près

est4o>7i4-

Division abrégée.

182. De même que l’approximation avec laquelle on veut calculer un produit de deux facteurs conduit à n’employer que certains chiffres de ces deux facteurs (176), de même l’approximation demandée au quotient permet de négliger certains chiffres du dividende et du diviseur. C’est sur cette remarque qu’est basé le procédé de la division abrégée. Nous poserons d’abord les deux règles suivantes.

i“. Dans la division de deux nombres quelconques, avant tout calcul, il faut rendre le diviseur entier { 179 ) ;

2®. Nous supposerons dans tout ce qui va suivre que le quotient est demandé à l’unité près. S’il est demandé en effet à un dixième, un centième, un millième près, il suffit de rendre le dividende 10, 100, 1000 fois pins grand et de chcr-

ya ARITHMÉTIQUE.

cher le quotient à l'unité près; puisqu'on devra ensuite le rendre lo, loo, looo fois plus petit, il sera obtenu à un dixième, un centième, un millième près. Si l'on demande au contraire le quotient à une dizaine ou à une centaine près, il faudra rendre le dividende lo ou loo fois plus petit, et chercher le quotient à l’unité près. Comme on devra ensuite le multiplier par lo ou par loo, il sera bien obtenu à une dizaine ou à une centaine près.

183. Soit donc à diviser dans ces conditions 83645o 12,37 par 613345. Le quotient trouvé par la métbode ordinaire est 136,5930,01 près. Si l’on.veut trouver ce quotient à 0,01 près, par la méthode abrégée, on devra chercher à l’unité près le quotient des nombres 83645oi237 et 612345.

Nous commencerons par déterminer le nombre des chiffres du quotient (55) : ce nombre sera égal à 5. Il faudra alors séparer sur la gauche du diviseur assez de chiffres pour former un nombre au moins égal 35x9. Ces chiffres formeront le dernier diviseur qui sera 61. On comptera alors 5 — 1 ou 4 chiffres sur la droite du dernier diviseur, et l’on aura le premier diviseur qui sera 612345. S’il y avait d’autres chiffres au diviseur, après ceux qui constituent le premier diviseur, on les supprimerait, On efface alors sur la droite du dividende autant de chiffres qu’il y en a dans le diviseur après le dernier diviseur, > et l’on ohiienX. le premier dividende

On divise le premier dividende par le premier diviseur en suivant le procédé ordinaire. On a ainsi le chiffre des plus hautes unités du quotient, qui est i, et un reste égal à 224105.

C’est ce reste qu’on prend pour second dividende ; mais on barre alors un chiffre sur la droite du premier diviseur, de sorte que le second diviseur est 61234. On obtient 3 pour second chiffre du quotient, et un reste égal à 4°4o3. C’est ce reste qu’on prend pour troisième dividende. Le troisième diviseur 6123 s’obtient en barrant un nouveau chiffre sur la droite du second diviseur. On continue de la même manière, jusqu’à ce qu’on soit conduit à employer le dernier diviseur qui correspond nécessairement au dernier chiffre ou au chiffre des unités du (]uotient ; en effet, pour former le premier diviseur, on a compté à la suite du dernier diviseur autant de chiffres moins un qu’il doit y en avoir au quotient.

H364501237 612345 224 io5 1 3657T

AKITIIMÉTIyL'K. gS

Il reste à prouver que le (luoticnt i 3 ()Îk), obtenu eu appliquant ce procédé, est bien exact a l’unité près.

On a d’abord négligé la partie du dividende. On néglige ensuite à la fin de l’opération le reste 56 qui représente des dizaines de mille. La somme de ces deux erreurs est donc égale à 561237, et c’est une erreur par défaut. Le reste 56 étant moindre que le dernier diviseur 61, cette erreur par défaut sera moindre que le diviseur proposé, puisqu’on a effacé sur la droite du dividende autant de chiffres qu’il y en avait au diviseur après le dernier diviseur.

De plus, dans le courant de l’opération, on a négligé de multiplier les chiffres barrés sur la droite de chaque diviseur par les chiffres correspondants du quotient, et comme les produits partiels successivement obtenus ont été retranchés des différents dividendes ou du dividende total, on a fait ainsi sur les ilifférents dividendes ou sur le dividende total une erreur par excès qu’il faut évaluer.

Écrivons le quotient sons le premier diviseur, en le renversant comme dans la multiplication abrégée (176), et posons le chiffre des unités du (|uotient sous le chiffre des unités du dernier diviseur.

Nous verrons alors facilement qu’on a précisément formé les différents produits partiels du diviseur par les chiffres successifs du quotient, comme s’il s’agissait de trouver le produit des deux nombres par le procédé de la multiplication abrégée. Le chiffre des unités du dernier diviseur représentant des dizaines de mille, et ce chiffre correspondant au chiffre des unités du quotient, l’erreur sur le produit sera inférieure à la somme des chiffres du quotient multipliée par une dizaine de mille (176). Le nombre des chiffres du quelient étant 5 et ces chiffres étant au plus tous égaux à 9, la limite supérieure de Yerreur par excès que nous cherchons à évaluer sera 9X6 dizaines de mille. Le dernier diviseur 61 ayant été pris supérieur à 9 X 5, il en résulte que Y erreur totale par excès sera encore moindre que le diviseur proposé (> 12345.

En résumé, Y erreur commise sur le dividende se compose de deux erreurs: l’une par défaut, l’autre par excès ; et chacune de ces erreurs est moindre que le diviseur. En effectuant la division, on divise aussi l’erreur. Par conséquent, Y erreur sur le quotient se composera elle-même de deux erreurs : l’une par défaut, l’autre par excès; et chacune de ces erreurs sera moindre qu’une unité. En réalité, le quotient sera donc obtenu, par excès ou par défaut, à l'unité près.

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