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Le quotient i365c> étant exact à moins d’une unité, le véritable quotient i36,5<) sera exact à moins d’un centième.

Supposons, comme second exemple, qu’on demande de diviser 63817,908451273 par 49,6923 à 0,001 près. On commencera par rendre le diviseur entier, puis on multipliera le dividende par 1000 (182), et la question sera ramenée à chercher le quotient de 638179084512,73 par 4969^3 à l'unité prés. On devra donc négliger d’abord les deux chiffres décimaux du dividende (179).

Le quotient devant avoir 7 chilfres et 7 X 9 étant égal à 63, 49^^ sera le dernier diviseur. On doit compter 7 — i ou 6 cliiffres à la suite de 49^’ pour avoir le premier diviseur. Mais le nombre des chiffres du diviseur proposé n’étant pas assez grand pour permettre l’application de la règle, on écrira trois zéros à la droite du dividende et du diviseur (68) ; on aura ainsi 496928000 pour premier diviseur. Pouf avoir le premier dividende, il faudra supprimer 6 chiffres sur la droite de 638179084512000; le premier dividende sera donc

L’opération présentera la disposition suivante :

..Le quotient donné par la méthode abrégée étant 1284261, le quotient cherché sera 1284,261 à 0,001 près.

184. Il peut arriver qu’un dividende partiel contienne 10 fois le diviseur correspondant. On peut alors en général appliquer la règle indiquée sans modification aucune, en ayant soin d’écrire le quotient égal à 10 entre deux parenthèses.

Soit à diviser 3279814G15 par 780918 à l’unité près. Le quotient contenant 4 chiffres et 4X9 étant moindre que 78, 78 formera le dernier divi^ur. On devra compter 3 chiffres après 78, de sorte que 78091 sera le premier diviseur. On barrera le dernier chiffre du diviseur proposé, et l’on supprimera 4 chiffres sur la droite du dividende, puisque le diviseur donné en contient 4 à la suite du dernier diviseur. Le premier dividende sera donc 827981, et l'opération présentera la disposition suivante. Nous traçons une barre horizontale au-dessus de rensemble des chiffres supprimés tout d’abord .à la droite

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des iiüinbres considérés ; on pourrait d’ailleurs se dispenser d’écrire ces chilTres.

Le quotient demandé sera /^y-oo.

Il faut remarquer avec soin que le deuxième reste 7808 est moindre que le deuxième diviseur 780g. Par conséquent, si ce reste 7808, qui devient le troisième dividende, contient 10 fois le troisième diviseur 780, il ne peut surpasser 10 fois ce troisième diviseur que d’une quantité inférieure au chiffre 9 qu’on a barré sur sa droite. En d’autres termes, le reste suivant ou quatrième dividende ne contiendra qu’un chiffre. Comme le dernier diviseur en contient 1, tous les chiffres suivants du quotient seront des zéros.

On peut donc formuler cette règle : Lorsqu’on est conduit à poser [10] au quotient, il faut forcer l’unité sur le chiffre trouvé précédemment et compléter le quotient par des zéros.

Il peut arriver qu'on ait à poser immédiatement (lo) au quotient, comme chiffre de ses plus hautes unités. 11 est facile de voir que la règle précédente est encore applicable. Désignons par a le nombre des chiffres du dividende, par p le nombre des chiffres du diviseur. Le quotient aura alors (55) un nombre de chiffres égal àa — pouàa — p-l-i.

Si l’on suppose que le dernier diviseur contienne p chiffres, le premier diviseur en contiendra autant que le quotient plus P — I, c’est-à-dire a — — i ou a — ^-\-p-

Quant au premier dividende, puisqu’il est obtenu en barrant stir la droite du dividende proposé autant de chiffres que le diviseur en contient à la suite du dernier diviseur, il en renfermera a — 3-t-/>.

Ainsi, le premier dividende contient un chiffre de plus que le premier diviseur ou le même nombre de chiffres.

On peut donc être conduit, dans le premier cas, à poser immédiatement (10) au quotient. Mais alors le quotient n’aura plus a — P chiffres : il en aura a — p-f- 1 ; ce qui prouve d’abord • qu’on ne peut jamais avoir à poser que 10 au quotient { et non pas II, 12, etc.). En effet, le quotient devant réellement contenir a — p chiffres et la méthode abrégée en donnant a — p.-l- 1 avec une erreur moindre qu’une unité, c’est que le procédé ordinaire conduirait à un quotient composé de a — p neuf, avec une erreur par défaut moindre qu’une unité. Le procédé abrégé doit donc donner (10) suivi d(‘

gfi AIUTIIMÉTIQUE.

a — (S — I zéros, et Verreur moindre quiine unité est alors par excès (*).

On peut vérifier ce que nous venons de dire sur l’exemple suivant. Soit à diviser 437538 par 4378. On aura :

Procédé abrc(»é.

Procédé ordinaire.

Pour évaluer dans le cas qui nous occupe l'erreur par excès commise sur le dividende (183), on doit écrire le quotient renversé sous le diviseur, de manière que le chiffre des unités du quotient corresponde, non pas au chiffre des unités, mais au chiffre des dizaines du dernier diviseur ; en effet, le quotient renferme un chiffre de plus. L’erreur cherchée sera donc moindre que la somme des chiffres du quotient ou t, multiplié par 1000. Le diviseur étant au moins égal à 1000 Yerreur par excès commise sur le quotient sera encore plus petite que i . Quant à l’erreur par défaut, pour l’évaluer il n’y a rien à changer aux raisonnements précédents (183).’

EXEKCICIS a

1. On traite annuellement dans une usine*! i aSoooo kilogrammes de minerai de cuivre argentifère. Le minerai contient 2*“^, 40 de cuivre et d’argent sur 100 parties. perle en cuivre est de 4 parties sur 100 parties extraites, et la perte en argent est de 5 parties sur 100 parties extraites. Calculer les productions annuelles de cuivre et d’argent et

(*) Il faut, pour bien comprendre ce qui précède, se rappeler que lorsque le quotient a chiffres, le premier dividende partiel employé en suivant le

procédé ordinaire, doit contenir un chiffre de plus que le diviseur (55). D’ailleurs, ce premier dividende partiel divise par le diviseur ne pouvant donner qu'un chiffre aw quotient, on voit que le premier chiffre du dividende sera nu plusé\*a\ au premier chiffre du diviseur. Lorsque cette condition sera remplie, ^ il faudra qu'en comparant les chiffres suivants du diviseur à ceux qui leur correspondent dans le premier dividende partiel, on trouve au moins un chiffre du diviseur plus grand que celui de même rang dans le premier dividende partiel, les chiffres précédents étant égaux deux à deux. Sinon, le premier dividende partiel renfermerait dix fois le diviseur.

Ceci posé, en appliquant le procédé abrégé, le premier dividende contiendra donc dix fois au plus le prtmirr diviseur (car les chiffres conservés dans le premier diviseur doivent être au moins égaux à ceux de même rang dans le premier dividende qui en renferme un de plus), et le reste obtenu on second dividende n’aura alors qu'un seul chiffre. Comme le dernier diviseur en contient au moins deux, tous les chiflres suivants du quotient seront bien des zéros.

Si le premier chiffre du dividende est inférieur au premier chiffre du diviseur, le premier dividende ne pourra pas contenir dix fois le premier diviseur, et l’on rentrera dans l’un des cas déjà examinés. "

AKITHMÉTIQUE. • yj

leurs valeurs, en estimant wo francs le kilogramme d’argent et lo le kilogramme de cuivre.

II. Un cheval peut traîner nne voiture contenant un poids de 1 5oo kilogrammes; sa vitesse est de par heure; le temps pour le charge-

ment et le déchargement est é,valué à lo minutes. Pour un travail journalier de 10 heures, on paye 5 francs au conducteur de la voiture. Calculer le prix du transport de 'ioo mètres cubes de terre à une distance de 97 mètres, sachant que le mètre cube de terre pèse 1600 kilogrammes.

III. Au chemin do fer de Paris à Lyon, les rails pèsent 38 kilogrammes par mètre courant ; la longueur d’un rail est de 5 mètres; 100 kilogrammes de rails coûtent 3” francs. Il y a 5ia kilomètres de Paris à Lyon, et le chemin est à deux voies. Calculer le poids total des rails , le volume occupé par eux , leur nombre et le prix total des deux voies. La densité du fer est 7,7.

IV. Les profondeurs de trois puits artésiens sont aïo mètres, 3g5 mètres, 543 mètres; les températures des eaux correspondantes sont 19“, 75, a5°,33, 3o",5o. On demande de vérifier si le rapport qui existe entre les accroissements do temiiérature est égal à celui qui existe entre les accroissements do profondeur; on demande ensuite de calculer quelle température devrait avoir l'eau fournie par le troisième puits pour que l’égalité supposée piU exister.

V. Le grand axe de l’orbite de la planète Mars est égal , en prenant pour unité le grand axe de l’orbite terrestre , à i , SaSGg. Reliant que , d'après Képler, le rapport qui existe entre les carrés des temps pendant lesquels deux planètes exécutent leurs révolutions , est égal à celui que présentent les cubes des grands axes de leurs orbites; on demande de trouver en jours la durée de la révolution de Mars, la terre effectuant la sienne en 365', 25628.