THÉORIE DES APPROXIMATIONS DÉCIMALES

221. Le calcul des nombres incommensurables se ramène, d’après ce qui précède, à Celui des nombres commensurables. En effet, les symboles incommensurables doivent toujours être remplacé^, au point de vue numérique, par des valeurs commensurables qui en diffèrent d’aussi peu qu’on voudra (1991. 11 n’y a donc pas lieu de donner, à cet égard, de nouvelles définitions des opérations fondamentales. 11 faut seulement faire remarquer que ces opérations, par rapport aux nombres incommensurables, resteront aussi symboliques tant qu’on n’aura pas remplacé les nombres incommensurables considérés par des valeurs commensurables convenables. Ainsi les

expressions v'3-|-v'2, v/3 — X V^» (v'3)% yVaj

exigent, pour être comparées à l’unité (*), qu’on remplace y/3 et ^ par des valeurs commensurables approchées suivant les cas à 0 , 1 ; à 0 , 01 , etc.

Mais ici une nouvelle question se présente. Quelle influence l’approximation des données a-t-elle sur l’approximation du résultat? Et si l’approximation du résultat est indiquée d’avance, avec quelle approximation doit-on alors calculer les données? La réponse à celte question complexe est fournie par la théorie des approximations décimales.

Relation entre l'erreur absolue et l'erreur relative.

222. Il faut distinguer avec soin deux sortes d’erreurs s l’erreur absolue et l’erreur relative. L’erreur absolue est l'erreur par rapport à l’unité choisie ; l’erreur relative est terreur patrapport au nombre lui-même.

Soit le nombre 35 , 62724 - Si l’oi) néglige les deux derniers chiffres décimaux, on néglige une quantité plus petite qu’un millième d’unité ; l’erreur absolue est donc plus petite qu’un

millième. Le nombre 35,627 contient — ^ — est donc sa

35627‘^“* partie. Dès lors l’erreur relative est plus petite que

Réciproquement, si l’erreur relative est plus petite que

( * ) Nous laissons de côté las simplifications apportées par le calcul des radicaux , qui ne changent rien au fond de la remarque.

355^7* l onipU'r sur les cinq premiers chiffres du nom-

bre proposé. Car ce nombre renfermant 35627 millièmes, si

son erreur relative tombe au-dessous de — » c’est que son

erreur absolue tombe au-dessous d’un millième.

On voit qu'on a une limite supérieure de l'erreur relative en divisant l'unité par le nombre proposé exprimé en unités de même ordre que l'erreur absolue.

On pourrait dire aussi que cette limite est égale à la limite supérieure de l’erreur absolue, divisée par le nombre consi-

déré tel qu’il est donné

Représentons par e d’une manière générale la limite supérieure de l’erreur absolue, par r la limite supérieure de l’erreur relative, par A le nombre proposé approché par défaut. On pourra poser la relation fondamentale

— ou e— K r.

e désigne, dans les applications, une unité de l’ordre audessous duquel tombe immédiatement l’erreur absolue : c’est un centième, un millième, si l’erreur absolue est plus petite qu’un centième ou un millième. A représente l’ensemble des chiffres exacts du nombre proposé et contient autant de chiffres décimaux que l’expression de e.

On aura aussi

N étant le nombre A, abstraction faite de la virgule.

Dans l’exemple considéré, on a

c = 0,001, A = 35,627 et N= 35627.

Dans les applications, c’est l’erreur relative qui est impor^ tante. Lorsqu’on donne les.dimensions d’un bâtiment à i millimètre près, on atteint une très-grande approximation. Lorsqu’on donne avec la même approximation le diamètre d’un tube thermométrique, l’approximation est plus que grossière, puisque ce diamètre peut tomber au-dessous de 1 millimètre.

223 . 11 existe une relation fort simple entre l’erreur relative et la quotité des chiffres exacts du nombre proposé. Nous venons de voir qu’on obtenait une limite supérieure de l’erreur relative en divisant l’unité par le nombre proposé exprimé en unités de même ordre que l’erreur absolue. Ainsi en reprenant l’exemple précédent, si le nombre 35,627 est approché à

ARITHMÉTIQUE^ l3l

moins d’un millième, l’erreur relative aura pçur limite supé-

rieure

■ Mais, en remplaçant 35627 par 3oooo ou 3x io‘.

on obtiendra à fortiori — -, pour limite supérieure de cette