THÉORIE DE LA RACINE CUBIQUE
211 . On appelle racine cubique d’un nombre le nombre qui, élevé au cube, reproduit le nombre proposé. Ainsi, 8 étant le 2*5 3
cube de 2 et ,-.4 étant le cube de 7? on a 64 4
^8=2 et
Le cube d’un nombre entier ou fractionnaire s’appelle cqbe. parfait.
AHITBMÉTIQVE. "121
Tout nombre entier qui n’est pas cube parfait, toute fraction dont les deux termes ne sont pas cubes parfaits, a pour racine cubique un nombre incommensurable (161, 198). On devra donc se proposer de trouver la racine cubique d’un nombre exactement ou avec une approximation donnée.
Composition d'tm cube d’nne somme de deux parties et remarques sor les cnbes.
. 212. Pour trouver le cube de la somme 8 + 5, il faut d’abord en faire le carré, ce qui donne 8 * 4 - 2 X (8 X 5) + 5% et multiplier ce carré par 8 5.
On trouve pour résultat
c’est-à-dire que /e cude d’une somme de deux parties est égal au cube de la première partie, plus trois fois le carré de la première partie multiplié par la seconde, plus trois fois la première partie multipliée par le carré de la seconde , plus le cube de la seconde.
Tout nombre plus grand que 9 étant composé de dizaines et d’unités, on peut dire d’une manière générale que le cube d’un nombre entier contient le cube de ses dizaines, plus le triple produit du carré de ses dizaines par ses unités, plus le triple produit de ses dizaines par le carré de ses unités, plus le cube de ses unités.
Ainsi l’on aura
On a, d’après ce qui précède, >
[a4-i)»=a* -t-3a»4-3a4-i, d’où (a-l-i)’ — a» = 3a»-)-3a-t-i.
Par conséquent, la différence des cubes de deux nombres entiers consécutifs est égale à trois fois le carré du plus petit nombre, plus trois fois ce plus petit nombre, plus un.
213. La table suivante donne les cubes des neuf premiers nombres :
On peut remarquer que le cube d’un nombre est nécessaire-
ment terminé par le même chitïro ((ue le cube de ses unités; mais cette remarque ne fournil aucun moyen de dislingu(“r les nombres qui peuvent être cubes parfaits ; car un cube parfait peut être indifféremment terminé par l’un des neuf premiers nombres, puisque les cubes des nombres terpiinés par i, 4. 5, 6 et g, le sont aussi par i , 4, 5, <5 et g, tandis que les cubes des nombres terminés par 2, 3, 7 et 8, le sont inversement par 8, 7, 3 et 2.
Si un nombre est terminé par un nombre quelconque de zéros, son cube sera terminé par trois fois plus de zéros. Donc un nombre terminé par un nombre de zéros qui n’est pas multiple de trois, ne peut pas être cube parfait.
Extraction de la racine cnbiqne d’nn nombre à l’unité près.
214. Nous commencerons par remarquer que, pour extraire la racine cubique d’un nombre fractionnaire à l’unité près, il suffit d’extraire à l’unité près la racine cubique de la partie entière de ce nombre. En effet, pour que la racine cubique d’un nombre entier croisse d’une unité, il faut que ce nombre croisse lui-même au /«oms d’une unité d’après la différence qui existe entre les cubes de deux nombres entiers consécutifs (212). Si l’on augmente un nombre enlierd’une fraction proprement âite, on ne peut donc changer en rien la partie entière de .sa racine
cubique. Aipsi, extraire la racine cubique de 42327 -1- à
l’unité près, ou extraire la racine cubique de 4^327 à l’unité près, revient au même.
215. Ceci posé, la question se trouvant ramenée dans tous les cas à extraire la racine cubique d’un nombre entier à l’unité près, il faut distinguer entre les nombres plus petits et plus grands que 1000.
Lorsqu’un nombre est plus petit que 1000, il suffit de consulter la table des cubes des neuf premiers nombres. On voit immédiatement, par exemple, que la racine cubique deSiTesl 8; et que 27$ tombant entre 21G et 343, sa racine cubique tombe entre 6 et 7, de sorte qu’elle est G par défaut et 7 par excès à l’unité près.
216. Si le nombre considéré est plus grand que 1000, comme ^ 57817233, sa racine cubique est plus grande que 10, elle renferme dès lors des dizaines et des unités. Si le nombre donné est un cube parfait, il contient les quatre parties qui composent le cube de sa racine (212) ; .s’il n’est pas un cube parfait, il contient, en outre, une cinquième partie qui représente son excès par rapport au cube de sa racine, et qu’on appidle le reste rie l'opré-ation.
Le cube des dizaines de la racine ne pouvant donner que des mille, sera compris dans les 5^8 1'; mille du nombre proposé. Je dis qu’cn extrayant la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans ces mille, on aura nécessairement le nombre de dizaines de la racine.
En effet, désignons par a ce plus grand cube entier. On aura, en se reportant à l’exemple choisi,
et, par suite,
Les deux termes extrême^ifférant au moins de 7 mille (pour a = i), on peut ajouter air terme intermédiaire une quantité plus petite qu’un mille, sans changel' le sens des inégalités. On aura donc
a? X io^-<[ 57817233 (a -f- i)“X 10*.
On en déduit
La racine cubique de 57817233 tombant entre a dizaines et (a -t- 1) dizaines, contiendra a dizaines, a représentant, comme nous l’avons dit, la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans les 57817 mille du nombre donné.
On est conduit à extraire la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 57817, c’est-à-dire à extraire la racine cubique de ce nombre à l’unité près. Mais 57817 étant >1000, sa racine est plus grande que lo; les raisonnements précédents sont donc applicables, et il faut extraire la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans les 57 mille de 57817, pour obtenir les dizaines de sa racine cubique. Le plus grand cube entier contenu dans 57 est 27 dont la racine cubique est 3. Le chiffre des dizaines de la racine cubique de 57817 est donc 3; reste à trouver le chiffre des unités.
CO
3484 X 8 = 3 x 3 o»x 8 -h 3 x 3 ox 8 ’-t- 8 »
Pour cela, retranchons 27 de 57 ; on trouve 3 o pour reste. En retranchant le cube de 3 o, c’est-à-dire le cube des dizaines de
la racine ou
27000 de 57817, on trouvera donc 80817. Le reste
30817 ainsi obtenu contient au moins le triple produit du carré des dizaines de la racine par les unités cherchées, plus le triple |)rodnil de ces dizaines par le carré des unités, plus le cube des
ia4 arithmétique.
unités. Le triple carré des dizaines par les unités ne pouvant donner que des centaines, se trouvera dans les 3o8 centaines du reste '3o8i 7. En divisant 3o8 par le triple carré 27 du nombre de dizaines de la racine, on aura donc pour quotient le chiffre des unités de la racine ou un chiffre supérieur. Je supérieur, parce que 3o8 représente non-seulement le triple produit du carré du nombre de dizaines de la racine par ses unités, mais contient, en outre, les centaines des autres parties qui composent 3o8i 7.Le quotient obtenu devra donc toujours être essayé ; le premier chiffre de la racine est le seul qui soit nécessairement exact.
3o8 divisé par 27 donne 11 pouiLquotient; mais comme le chiffre cherché est inférieur à 1 o, puisque le chiffre des dizaines est forcément 3, nous essayerons g et même 8 ; car 9 serait trop fort, parce que le cube de 3g est supérieur 357817. La racine cubique à l’unité près de 57817 est donc égale ou inférieure à 38. Si le cube de 38 peut se retrancher de 57817, le chiffre 8 est exact; sinon, il faut le diminuer d’une unité, et recommencer l’essai. Nous avons déjà retranché de 57817, 27000 ou 3o»; il faut donc vérifier seulement si l’on peut retrancher du reste 30817 les trois autres parties du cube de 38. Pour former ces 3 parties, on opérera comme il suit.
Le triple carré de 3 étant 27, le triple carré de 3o sera 2700 ; il suffira de multiplier 2700 par 8 pour avoir la première partie cherchée ou le triple carré des dizaines par les unités. Le triple produit de 3o par 8 sera 720 : 720 X 8 représentera donc le triple produit des dizaines par le carré des unités ou la seconde partie cherchée. Enfin, 64 X 8 représentera le cube de 8 ou la troisième partie demandée. L’essai sera ainsi ramené à voir si l’on peut retrancher du reste 30817 somme 3484 X 8 ou 27872. La soustraction réussit, et le reste obtenu est 2945. 38 représente donc la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 57817.
Par conséquent, en revenant au nombre 57817233, 38 représente les dizaines de la racine cubique de ce nombre. 11 reste à trouver le chiffre des unités.
En retranchant 38' de 57817, on trouve 2p45 ; en retranchant le cube de 38o de 57817000, on trouvera donc 2945000; et, par suite, en retranchant le cube de 38o ou le cube des dizaines de la racine de 57817233, on trouvera pour reste 2g452.33. 2945233 contient donc au moins le triple carré des dizaines de la racine multiplié par les unités cherchées, plus le triple produit des dizaines par le carré des unités, plus le cube des unités. Par conséquent, les centaines 29^52 du nombre 2g45233 sont au moins égales au triple carré du nombre 38 des dizaines de la racine, multiplié parles unités inconnues; et, en divisant
Digilized by CoogI
2945?. par 38’ X 3, on obviendra un quolienl égal ou supérieur à ces mêmes unités.
On peut facilement former, à l’aide des résultats precedents, le triple carré de 38. On a 5 7,8 I 7.2 3 3 386
3 O 8.1 7 72o=3X3oX8
684o = 3x38 oX 6 36 = 6’
38’ X 3 =3 X 3o’ + 6 X 3o X 8 -t- 3 X 8’. Puisque 3484 représente déjà 3 X 3o’ -h 3 X 3o X 8 + 8’, il suffira d’ajouter à 3484, 720 ou 3x3ox8, 64 ou 8’, plus enfore une fois 64 ou 8’, pour compléter 38’ X 3 = 4332. En divisant 2^62 par 4332, on trouve 6 pour quotient. La racine cherchée à l’unité près sera donc égale ou inférieure à 386. Pour essayer le chiffre 6, il faut voir si l’on peut retrancher 386’ du nombre donné. On en a déjà retranché le cube de 38o ; il reste donc à voir si, du reste obtenu, on peut retrancher les trois' autres parties du cube de 386. On a comme précédemment
L’essai consistera donc à retrancher du reste 2945233 la somme 440076 X 6 ou 2640456. La soustraction réussit et le reste obtenu est 304777. La racine cubique demandée est donc 386 à l’unité près par défaut, et 804777 représente le reste de l’opération.
Si l’on emploie la simplification connue, le calcul présente . la disposition suivante. ,
Digiîi^ed by Googlc
217. En relisant attentivement les raisonnements précédents, on arrive à formuler la règle suivante :
Pour extraire la racine cubique d’un nombre entier à l’unité près, on le partage en tranches de trois chiffres à partir de la droite et en remontant vers la gauche, de sorte que la dernière tranche à gauche peut n’avoir qu’un ou deux chiffres. Le nombre des tranches obtenues indique le nombre des chiffres de la racine. On obtient le premier chiffre de la racine en extrayant la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans la dernière tranche à gauche. On retranche le cube de ce chiffre de cette même tranche et, à côté du reste, on abaisse la tranche suivante : on sépare les centaines de l’ensemble obtenu. En divisant ces centaines parle triple carré du premier chiffre delà racine, on a le second chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. Pour l’essayer, on peut opérer comme nous l'avons indiqué ; ou bien, élever au cube le nombre formé par les deux premiers chiffres de la racine et voir si l'on peut retrancher ce cube de l’ensemble des deux premières tranches à gauche du nombre proposé. Si la soustraction est possible, le chiffre essayé est exact ; sinon, on le diminue d’une unité et l’on recommence l’essai. A côté du second reste obtenu, on abaisse la troisième tranche : on sépare les centaines de l’ensemble obtenu, on les divise par le triple carré du nombre déjà écrit à la racine; on a le troisième chiffre de cette racine qu’on essaye comme précédemment. On continue de la même manière, jusqu’à ce qu’on ait abaissé la dernière tranche.
218. Le reste de l’opération ne peut pas dépasser 3 fois le rarré de la racine, plus 3 fois celte racine. En effet, le nombre proposé N est égal au cube de sa racine A, plus le reste trouvé U. Si ce reste était seulement égal à 3A’-)-3A -i-i, le nombre donné égal à A* + H, serait égal à A’-f-3A’-l- 3 A-h i ou à (.A -H i)*. Sa racine cubiijue ne serait donc pas A à l’unité près, mais bien A-Hi; et la crainte d’écrire au résultat un chiffre trop fort en aurait fait écrire un trop faible.
Cette remar(]uc s’applique évidemment aux restes trouvés dans le courant de l’opération, comparés aux nombres déjà écrits à la racine.
Racine cubique des fractions et des nombres décimaux.
219. Quelle que soit la fraction proposée on a d’une manière générale
AR1THMI%TIQUE.
U* c ube de la seconde expression élanl ^ connue celui de la
première,
11 est important d’opérer toujours sur des fractions dont le dénominateur soit cube parfait, alin de pouvoir apprécier immédiatement le véritable degré d’approximation. On n’a, pour y arriver, qu’à multiplier haut et bas la fraction donnée par le carré de son dénominateur. Ainsi,
Si l’on extrait la racine cubique de 5 X 7^ ou 245 à l’unité près, comme on devra diviser le résultat trouvé par 7, on obtiendra
la racine, cubique de - à — près.
On peut simplifier en multipliant les deux termes de la fraction par les facteurs premiers du dénominateur élevés à des puissances telles, que leurs exposants deviennent tous multiples de 3 ; le dénominateur sera alors nécessairement un cube parfait.
220. Soit à extraire la racine cubique d’un nombre décimal tel que 2.487 ,82. On a
et, par suite,
v^ 24 8782 = V 24^7 >^2 X 100, d’où ^2487 ,82 —
Pour que la question soit convenablement résolue, il faut qu’on ait à diviser par la racine cubique d’une puissance de dix qui soit cube parfait. Or, on peut toujours se placer dans ces conditions, en rendant multiple de trois (s’il ne l’est pas déjà) le nombre des chiffres décimaux par l’addition d’un ou deux zéros. Dans l’exemple proposé, on remplacera le nombre donné par son équivalent 2487,820 et l’on aura
Li^règle pratique sera donc de compléter le nombre des chiffres décimaux de manière qu'il soit multiple de trois, par un ou deux zéros s’il est nécessaire; d’extraire la racine cubique A l’unité près du nombre obtenu, abstraction faite de la virgule ; puis de séparer sur la droite de cette racine trois fois moins de chiffres décimaux qu’il n’y en a dans le nombre considéré. L’ordre décimal auquel on arrive ainsi est aussi celui de l'approximation obtenue.
En général, pour extraire la racine cubique d’un nombre
ABITHMÉTIQI'E.
fractionnaire à une approximation décimale donnée, il faut donc réduire l’expression fractionnaire en décimales, jusqu’à ce qu’on obtienne trois fois plus de chiffres décimaux qu’on n’en veut à la racine, et appliquer la règle qu’on vient d’indiquer. Nous verrons qu’on peut pousser beaucoup moins loin la réduction'en décimales.
La même remarque est applicable lorsqu’on veut extraire la racine cubique d’un nombre entier à une approximation décimale donnée, puisqu’on peut le considérer comme un nombre décimal contenant à sa partie décimale trois fois plus de zéros qu’on ne veut avoir de chiffres décimaux à la racine.
Exemples. i°. Extraire la racine cubique de — = ào,oi près.
io5o
io 4
3oo
On a — ^ = 3,141592 à 0,000001 près. La racine cubique de
3 ,i 4 i 592 sera 1,46 à 0,01 près.
2®. Extraire la racine cubique de 3 à 0,001 près.
3oo
588oo
On trouve J /3 = i ,442 à 0,001 près par défaut.
ARITHMÉTIQl'E.
