DIVISION

25. La division est l’opération inverse de la multiplication : elle a pour but, étant donnés le produit de deux expressions algébriques et l’une de ces expressions, de trouver l’autre.

Division des monômes.

26. Soit le monôme M à diviser par le monôme P ; désignons par Q le quotient. Ce quotient ne peut être qu’un monôme, puisque le produit d’un polynôme par un monôme est nécessairement un polynôme (17). Si l’on suppose la division exacte, on devra avoir

En se reportant à la règle de multiplication des monômes, on voit que le coefficient du dividende sera égal au produit du coefficient du diviseur par le coefficient du quotient. Réciproquement, le coefficient du quotient s’obtiendra en divisant le coefficient du dividende par celui du diviseur.

L’exposant d’une lettre quelconque du dividende doit être égal à la sommé des exposants dont elle est affectée dans le diviseur et le quotient. Réciproquement, l’exposant dont une lettre commune au dividende et au diviseur est affectée au quotient, doit être égal à la différence des exposants de cette même lettre au dividende et au diviseur.

Si une lettre entre avec le même exposant dans le dividende et le diviseur, elle ne peut entrer au quotient, sans quoi son exposant dans le dividende surpasserait relui qu’elle a au diviseur.

Si une lettre entre dans le dividende sans entrer dans le diviseur, elle provient seulement du quotient et elle y entre de la même manière qu’au dividende.

La règle sera donc d’écrire au quotient : le quotient des deux coefficients, les lettres communes au dividende et au diviseur avec un exposant égal à la différence de leuri exposants, sauf le cas où cette différence est zéro, les lettres qui entrent seulement au dividende sans modifier leurs exposants.

Soit à diviser 35a^b'c’d par qabc'. On trouvera

35 a’ b'c^d 7 abc’

27. Si l’on voulait appliquer la règle, sans se préoccuper de

ALüLbUE ÉLÉMK.M'AlllE.

l’égalilé des exposants (l’une même lettre au diviseur, on aurait

35 a’ h' c’ (l ■ 7 abc‘‘

Sa^b'e’il.

dividende et au

Si l’on veut (|uc les deux expressions du (piotienl soient équivalentes, il faut faire la convention suivante ; une quantité quelconque, affectée d’un exposant égal à zéro, représente l’unité. Olte convention est toute naturelle, puisque l'exposant zéro correspond à la division de deux quantités égales l’une par l’autre.

Quand un terme ne contient pas une lettre, on peut dire qu’elle y entre avec l’exposant zéro. Cette remarque permet de simplifier les énoncés des règles relatives à la multiplication et à la division des monômes.

Pour multiplier deux monômes, il suffit de multiplier les coefficients et d’ajouter les exposants des lettres communes.

■ Pour diviser deux monômes, il suffit de diviser les coefficients et de soustraire les exposants des lettres communes.

28. On regarde la division comme possible, lors même que les coefficients ne sont pas divisibles l’un par l’autre. On a un coefficient fractionnaire, mais le quotient reste entier algébriquement. Ainsi,

4 «’ lé z¥b

abc.

La division n’est impossible que dans le cas où une lettre entre dans le diviseur sans entrer dans le dividende on lorsqu’elle entre dans le divieiir avec un exposant plus élevé que celui qu’elle a dans le dividende. Il n’existe dans ce cas aucun monôme entier algébriquement qui, multipliant le diviseur, reproduise le dividende.

On ne peut diviser par 3a^b^c. On peut seulement

simplifier, comme nous le verrons plus tard, l’expression

Si l’on voulait appliquer la règle, on trouverait

de même.

5 rt’ lé Sa^b'c

-ab"c-’;

-a~-‘lé.

Cette extension de la règle donne naissance aux exposants négatifs: nous y reviendrons plus loin.

29. Le produit du diviseur par le quotient doit reproduire le

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

dividende en grandenft- ei en si{,Mie. Pour ju{;er du signe du (juolient, nous n’avons donc qu’à nous rappeler la règle des signes étendue au cas des (juantités isolées fl9). On formera ainsi le tableau suivant :

On peut le résumer en disant ; Le quotient de deux quantités de même signe est positif, le quotient de deux quantités de signes contraires est négatif.

Division d'un polynôme par un monôme.

30. Lorsi|u’on divise un polynôme par. ttn monôme, le quotient est polynônte, puisque le produit d’un monôme par un monôme est un monôme. En multipliant le polynôme quotient par le monôme diviseur, on doit reproduire identiquement le polynôme dividende; cette multiplication s'opérera en multipliant par le diviseur les différents termes du quotient, et l’on obtiendra ainsi sans réduction les termes du dividende (17). Réciproquement, pour avoir le quotient, il faut donc diviser successiven^it les termes du dividende par le monôme diviseur. On rentre, par conséquent, dans le cas qu'on vient d’examiner (26 et suivants).

On trouve, d’après cela.

*4 ô’ c’ -4- 4o rt' ô* c* 4rt’è’c’ On peut donc écrire

=.6a’be -4- loaô’c’ — 4ô’c’.

24 a' lé e’ 4oa‘ ô‘<;‘ — ifia’ô^c^

= 4a’/»’c’X (6a’ôc -I- 10 a/>’c’ — 4^'*’^’)*

Le diviseur 4 divisant exactement tous les termes du dividende est A\\. facteur commun à tous ses termes; pour mettre ce facteur commun en évidence, il faut précisément effectuer la division du polynôme proposé par ce même facteur. La mise en évidence des facteurs communs est très-importante au point de vue du calcul.

Division des polynômes ordonnés.

31. (lénéralement, quand on a deux polynômes et B à diviser l’un par l’autre, on ne peut qu’indiquer l’opération sous

forme fractionnaire Ouelquefois on peut remplacer l’expression fractionnaire ^ par un polynôme (j, entier par rapport I. • i4

Vf.

aïo

ALOEBRE Éi.ÉMKWTAtBE.

ù la lettre suivant iaiiuclle les deux polyhômes A et B sont supposés ordonnés. C’est la recherche de ce polynôme Q que nous nous proposons."

Pour fixer les idées, nous admettrons que les trois polynômes considérés sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d’une même lettre.

Puisqu’on a, dans le cas examiné, ^ =Q, on a aussi

A = B X Q. Le dividende est donc alors le produit exact du diviseur par le quotient. Puisqu’il s’af;it de polynômes ordonnés, le premier terme du dividende provieid du produit du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient; de même, le dernier terme du dividende est égal au produit du dernier terme du diviseur par le dernier terme du quotient(21). 11 résulte immédiatement de celte remarque, qu’on obtiendra le premier terme du quotient en divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.

Oci posé, le dividende représente la somme des produits partiels du diviseur par les différents termes du quotient; si l’on en retranche le produit du diviseur par le premier terme trouvé au quotient, le reste obtenu, ordonné cc#ime le dividende et le diviseur, représentera la somme des produits partiels du diviseur par les autres termes du quotient. On sera donc conduit à une nouvelle division, dans laquelle on devra prendre ce reste pour dividende cl conserver le même diviseur. On divisera le premier terme du reste par le premier terme du diviseur, et l’on aura le second terme du quotient. On multipliera le diviseur par ce terme, on retranchera le produit obtenu du premier reste, cl on opérera sur le second reste auquel on sera conduit, comme sur le premier. Le dernier terme du quotient correspondra à un reste nul, car on aura retranché alors du dividende toutes les parties qui le composent. Ainsi, (luand la division est exacte, on arrive forcément à un reste nul, qui indique que le quotient est complet; et quand on arrive à un reste nul, la division est exacte, puisque le polynôme dividende représente le produit du polynôme diviseur par le polynôme écrit au quotient.

Soit à diviser le polynôme

2q x'“ — logx’ -t- 66or — i(>

par le polynôme

fix" lojr’ — •73:-)- a.

(Jn disposera l’opération de la manière suivante ;

Al.OÈDRE ÉI.ÉMENTAinE. ’ail*'

■2.']x'+ 75.r‘ — — iO().r“ H- G6.i' — ifi 9 ^;^ -4- lox’ — 7 r -4- 2

— 3o.r‘-4-2i.r^— àr» 3.r'-t- 5x — «