ai

— 2 ai’

— ai’ 4-i*

Le produit est égal à

(«‘ — b‘) X* — (aa’ô — ^ab^)

— (a* — 3 a’ 6 2 a'b^ + ab^ — 6* ) x’

— {a* b — 3 ab^ -f- 2 6* ) x — ( ab' — ) .

Pour obtenir ce produit, on suit la marche que nous allons indiquer. Si l’on posait

M = O* — N = a’ — 2 ai -t- P = ai — i’, Q=a’-l-i*, R=— S=— 6’;

le multiplicande prendrait la forme

Mx’-t-Nx-t-P et le multiplicateur, la forme

Qx’ -t- Rx + S.

Pour effectuer la multiplication, on commencerait alors par

2o4 algébke élémentaire. -

multiplier le monôme Ma:’ par le monôme Qa.’, le résultat serait MO a*. 11 faudra donc réellement former d’abord le produit du binôme représenté par M', par le binôme représenté par Q, et donneraii résultat, connue facteur commun, la 4' pi'*^^î*'’ce de la lettre ordonnatrice. Na nuilti|)lié par Qa’ donne NQa’. Il faudra donc multiplier le trinôme N par le binôme O. et donner au résultat, comme facteur commun, la 3' jiuissance de la lettre ordonnatrice, etc. Ün voit (m'on doit multiplier à part les diverses puissances de la lettre ordonnatrice et à part les poljnônies dont elles sont facteurs communs, c’est-à-dire les{|uantités placées à gauche des barres verticales au multiplicande et au multiplicateur. On doit écrire les résultats qui correspondent à une même puissance de la lettre ordonnatrice dans une même colonne verticale, à droite de Uuinclle on place cette puissance de la lettre ordonnatrice. On prépare ainsi la réduction des termes semblables, puisque ces termes ne peuvent correspondre qu’à une même puissance de On opère successivement cette T'éduction en examinant cba(|ne colonne verticale et en posant les termes obtenus au produit définitif, en ayant soin de les ordonner par rapj)ort aux puissances d’une seconde lettre. Dans l’exemple proposé, ces termes ont été ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de a ou croissantes de h. On n’a pas besoin d’effectuer à part la multiplication des coefficients jiolynômes des différentes puissances de la lettre ordonnatrice. On écrit immédiatement les termes trouvés à la place convenable. Ainsi, pour multiplier le premier terme’du mullijilicande par le premier terme du multiplicateur, on multipliera x’ para:’ : on obtiendra x', (|u’on écrira au produit en traçant à gauche une barre verticale. Pour multiplier n’ — ô’ par e’ ô’, on mnlti|)liera et />’ par on aura les termes a' et «’/>’, qu’on écrira à gauche de .r‘. On multipliera ensuite e’ et b- par — ô’, on aura les termes — u’ô’ et — b‘, (ju’on écrira aussi à gauche de x', au-dessous des termes précédents; et le coefficient polynôme de x* sera formé, etc.

23. Pour multiplier plusieurs polynômes entre eux, il finit multiplier le premier par le second, le résultat obtenu par le troisième, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait employé tous les polynômes. Les termes du premier produit seront les produits deux à deux des termes des deux premiers polynômes. Les termes du second produit seront les produits deux à deux des termes du premier produit et du troisième polynôme, c’est-àdire que ces termes seront les produits trois A trois des termes des trois premiers polynômes; etc. S’il. y a n polynômes facteurs, les termes du produit cherché seront donc les produits «à « des termes des n polynômes proposés, c’est-à-dire que.

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ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

aoT»

dans cliaque lormc de ce prodiii' il enlrera comme fadeurs un terme du premier polynôme, un terme du second, un terme du troisième, . . . un terme du

Théorèmes démontrés par la multiplication algébrique.

24. I. Le carré d’une somme de deux parties est égal au carré de la première partie, plus le double produit de la première partie par la seconde, plus le carré de ht seconde.

Multiplions a -1-6 para H- è.

rt -t- ô a -\-h

té -i- ah -t- ah h^ a'' -Tr 1 ah h'^

On trouve pour produit

+ 2 ah + lé. .

L’identité [a + by=.(é-\-aab -\-b^ est donc démontrée. Le mot identité siftnifie que cette égalité se vérifiera toujours, quelles que soient les valeurs numériipies mises à la place de a et de b. Si l’on change h en — h. On aura donc

[a — hy=:n'‘-+ 2 n[ — b)-\-[ — hy,

c’est-à-dire (19)

{a — hy = a? — 2ah+ h‘‘.

Ainsi le carré d’une différence est égal au carré de la première partie, moins le douhle produit de la première partie par la seconde, plus le carré de la seconde.

Pour avoir le cube de la somme [a + h), il suffit de multiplier le carré de [a + b) par (a-|-6).

a^ -h 2 ah b^ a -h b

a^-|- an’è-h aè’

a’’ b 2 ah- -h- lé

a^-h^a^h -i-3ab' h‘

On trouve ainsi le résultat déjà connu

(a = a’ 3a^b-{-'Sah‘ -f- h'.

Si l’on change b en — b dans cette identité, il vient

(a — />)■■’ = a’ -H 3a’ { — b)-\-3a[ — b)' + ( — hy ou

(a — by — a’ — 3a’ b -f- 3a/i’ — lé.

ao6 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

II. Le produit de la somme de deux quantités par leur (flfférence est égal à la différence des carrés de ces quantités. Multiplions a-\-b par a — b.

a‘-\-ab — ab — b'

Nous aurons pour résultat a’ — b', ce qui démontre le théorème.

Puisqu’on a (a + i) [a — b) = a^ — b', on a réciproquement a’ — + (a — b), ce qu’on peut écrire

(a’ — 6’) = (^a’+ fb^) (y^a’ — V^)-

Ainsi la différence de deux quantités quelconques est égale nu produit de la somme des racines carrées de ces quantités par la différence des mêmes racines.

On a

II — 3=(v/77 + v/ 3) (/Ï7 — v^).

III. Partager une quantité donnée en deux parties dont le produit soit le plus grand possible ou maximum.

Soit a la quantité donnée. Si l’une de ses parties est

representee par - + ar, 1 autre le sera nécessairement par . a — c’est-à-dire par^ — a:. Le produit de la somme ^ + ^ par la différence ^ — x est égal à la différence des carrés

— x'. Quel que soit x, le carré x' sera une quantité posi-

tive. Le produit formé sera donc toujours plus petit que

sauf pour le cas particulier où x sera égal à zéro : ce produit atteindra alors son maximum et ses deux facteurs seront égaux

à la même quantité

Donc, pour que le produit de deux facteurs dont la somme est constante soit le plus grand possible, il faut que ces deux facteurs soient égaux à la moitié de la somme donnée.

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ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.