fl’ 6 ’ -t

Troisième division parlielle.

«’/» — fl’/»’ 4- fl/»’ — /»' «’+/»’

— ~ab—h^

— fl’/»’ — /»'

Nota. Le diviseur peut ne pas eonlenir la lettre ordonna- Jriee choisie, de sorte que si on la désigne par x, le dividende

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. -213

aura la forme A j:'" + -f- C.A"- ' + cl le diviseur la

forme M. M et les coefficients A, B, C, etc., doivent être ensemble poljnùmes. Si M est un monôme, A, B, C, etc., sont monômes ou polynômes. On est ramené alors à suivre la marche indiquée au n“ 30. L’opération se com|i*se de divi-* sions partielles.

33. Si le premier terme du dividende est divisible par le premier terme du diviseur, on peut tenter la division sans qu’elle soit possible. U est alors essentiel d'indiquer des caractères au moyen desquels on puisse reconnaître la possibilité ou l’impossibilité de la division, car dans certains cas elle peut se poursuivre indéfiniment.

Nous savons que, lorsque la division est exacte, le dernier terme du dividende divisé par le dernier terme du diviseur doit donner le dernier terme du quotient.} Donc la division n’est pas possible exactement :

1 °. Lorsque le dernier terme du dividende n’est pas divisible par le dernier terme du diviseur.

l.e polynôme 5x' — 3 jt^-|- 2 x= — 7 .r n’est pas divisible par le polynôme 5 3.

2 “. I.orsque le dernier terme du dividende étant divisible par le dernier terme* du diviseur, on est conduit à poser au quotienlkn terme de même degré par rapport à la lettre ordonnatrice, mais différent de celui qui devrait être le dernier.

Le polynôme 6 ar‘ — 3 ar’-t- 2 a-’ — 5a--f-4 n’est pas divisible parle polynôme 3x’ — — 2 , j>arce que la division conduit à poser au quotient comme terme de degré zéro par rapport à la lettre ordonnatrice le terme -t- », au lieu du terme — 2 , (|uotient du dernier terme 4 du dividende, par le dernier terme — 2 du diviseur.

bar' — 3a’’ -h 2 a;’ — 5 a -t- 4 \ 3a’ — 3a’ -(-a — 2 -t-6a» — 2a’-4-4a j 2 ^^,

3". Lorsque le dernier terme du dividende étant divisible par le dernier terme du diviseur, on est conduit à jioser au quotient un terme identii|ue à celui qu’on doit trouver comme le dernier, sans que le reste correspondant soit nul.

Le polynôme 5 — 2 a-f- 16 a’ — qa^ n’est pas divisible par le polynôme i — x — 3x\ parce que la division conduit à poser au quotient le terme -H 3 a, résultat de la division du dernier terme — 9 a’ du dividende par le dernier terme — 3 a’ du divi-

âl4 ALfikBItE ÉLÉMENTAIRE.

seiir, sans que l’o|)('‘ralion s’achève :

5 — 2 .r 1 6 — gx' i — x — 3

4“- On peut encore remarquer que, si le premier terme du diviseur a pour coefficient l’unité, aucun coefficient fraction-' nairé ne pourra s’introduire dans le calcul; de sorte que si le dernier terme du dividende et le dernier terme du diviseur sont des nombres entiers dont le quotient soit fractionnaire, on pourra affirmera priori l’impossibilité de la division.

Le polynôme 4 — 5x^-\-’]x — 4 n’est pas divisible par le polynôme x^ — 2 x — 7, parce que le dernier terme du quo-

tient devrait être égal à

Des divisions inexactes.

34. Quand la division n’est pas possible et que le premier terme du dividende .V est divisible par He premier terme du

diviseur B, on peut remplacer l’expression fractionnlRe ^ par

un polynôme Q entier par rapporta la lettre ordonnatrice, augmenté d’une fraction ayant pour numérateur un polynôme de degré inférieur au diviseur par rapport à la lettre ordonnatrice, et pour dénominateur le diviseur.

En effet, on pourra toujours continuer la division jusqu’à ce qu’on arrive à un reste dont le premier terme ûe soit plus divisible par le premier terme du diviseur, c’est-à-dire jusqu’à ce qu’on arrive à un reste dont le premier terme ne contienne plus la lettre ordonnatrice avec un exposant aussi élevé que le premier terme du diviseur. Désignons ce reste par R : on aura nécessairement Hi=A — BQ, Q désignant le polynôme écrit au quotient au moment où l’on obtient le reste K. On déduit de r.égalité indiquée

Ai=BQ-+-R;

et en divisant les deux membres de cette dernière relation par B, il vient

cv »

En divisant 6x* — 3x’-t-2j:’ — 5x-+-4 par 3x’ — Sx’-fx — 2, on trouve pour quotient (33) le binôme ax-l-i et pour reste

ALGÈBRE ÉLÉMEKTAIRE. 2t5

le ti iiiôine — 2 x 4 - 6 . On peut alors poser

3o. Quand la division esl exacte, on peut changer la lettre ordonnatrice sans rien changer aux résultats de l’opération. Quand la division esl inexacte, si l’on cliange de lettre ordonnatrice, on modifie gcnéraleincnl l'expression du quotient et celle du reste.

Xondition de divisibilité d'un polynôme entier par rapport à x, par un binôme de la forme x — a. '

36. Désignons par X le polynôme dividende ordonné suivant les puissances décroissantes de x. Le diviseur x — </ étant du premier degré en x, la division pourra- continuer tant que le reste obtenu contiendra x. L’e reste final de l’opération, s’il y en a un, sera donc nécessairement indépendant de x, c’està-dire ne contiendra pasx. Désignons par Q le quotient trouvé entier par rapport à x, et par U le dernier reste, s’il y en a un. On aura l’égalité fondamentale qui résulte de toute division

Il faut bien comprendre que cette égalité est en même temps une identité, c’est-à-dire qu’elle reste vraie quelles que soient les valeurs particulières attribuées aux lettres qui y entrent. Elle subsistera donc encore (juand on y remplacera x par la V valeur spéciale a.

Désignons par X, le résultat de la substitution de cr à la place de X dans le dividende; remarquons que le facteur x — a devenant égal à a — a, s’annule, tandis que l’autre facteur Q) tjui ne contient pas x en dénominateur prend une valeur finie ou égale à zéro; dans les deux cas, le produit (x — a)Q disparaît. Quant au reste H qui ne contient pas x, il ne change pas. Oti a «lonc identiquement

Le qui nous conduit à ce théorème très-important : Quand on divise un polynôme entier par rapport à x par un binôme de la • forme x — a, on obtient immédiatement le reste de la division en remplaçant dans le dividende la lettre x par la lettie a.

On pourra donc, à priori, s’assurer de la possibilité de la division. Si la substitution indiquée conduit à un résultat nul, la division réussira.

37. Il est facile d’étendre et de généraliser le théorème qu’on vient de démontrer. Si un polynôme entier par rapport à x

ai6 ALGÈBItE ÉLÉMEMTAinE.

s’annule lorsqu’on remplace successivement x par des quantités différentes a et h, on peut affirmer que ce polynôme est divi-sible par le produit des binômes x — a et x — b.

En cffpt, le polvnôme X s'annulant pour x=.a est, d'après ce qui précède, divisible parx — « puisqu’on a alors X„ = llr=o.

En désignant par Q le quotient de X par.r — «, on pourra donc écrire

X = (.r-rt)0.

(>ette égalité subsiste quel que soit x, elle restera vraie si l’on y remplace x par b. On aura alors

Xj=(/» — rt) Qj.

Nous indiquons par Xi et Qi les résultats de la substitution de & à la place de x dans les polynômes X et Q. Par hypothèse Xi esfégal à zéro, et b — a est différent de zéro. Il faut donc qu’on ait Qi = o ou que le quotient Q soit divisible par x — b.' Désignons par q le quotient de Q par x — b. On pourra écrire Q = (j: — b) q et, par suite,

ce qui vérifie le théorème énoncé et prouve en même temps ' qu’il s’applique à un nombre quelconque de facteurs binômes.

Lorsque le polynôme diviseur peut se mettre sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré de la forme x — a, x — b, x — c, etc., il suffit de voir par conséquent si le polynôme dividende devient nul lorsqu'on y remplace successivement X |)ar a, b, c, etc. : s’il en est ainsi, on peut affirmer à priori la possibilité de la division.

S’il existe seulement quelques facteurs binômes du premier degré communs au dividende et au diviseur, on peut simplifier l’expression fractionnaire correspondante en faisant disparaître ces facteurs communs.

38. Appliquons le théorème démontré (36) à la recherche de certains caractères de divisibilité utiles à connaître au point de vue du calcul.

1 ”. (’.hcrchons d’abord si l’expression x“ — a” est divisible par JC — a, m étant un entier quelconque. Dans ce cas, on a X„ = rt'" — fT, c’est-à-dire on a K = o. L’expression ,t" — esk donc toujours divisible par x — a.

Trouxonsla forme du quotient et, pour cela, calculons-cn les premiers loi mes.

ALGÉBHE £lÉME:NTA1RE.

n .r"'-' — rt'”

On remarque que dans le premier lermc des différenls dividendes partiels l’exposanl de x va toujours en diminuant d’une unité, tandis que l’exposant dÿ « va toujours en augmentant d’une unité, de sorte que la somme de ces deux exposants est constamment égale à m. 11 en sera donc de même * pour les différents termes du quotient, avec cette différence que la somme des exposants sera, dans chaque terme, égale à m — I. Cherchons quel sera le dernier terme du quotient, l.’avant-dernier reste doit contenir .r à la première puissance seulement; il sera donc — a", et le dernier terme du

quotient sera «”“ '.*En résumé, les termes extrêmes du quotient sont x”"”' et et pour avoir les termes intermédiaires, il suffit de diminuer l’exposant de x d’une unité et d’augmenter celui de a d’une unité en passant d’un terme au sftTant. Nous pouvons donc poser d’une manière générale

2 ". Soit maintenant à diviser x'" — par x-t-«. On peut écrire le diviseur sous la forme x— (— «) et regarder — « comme le second terme du binôme. Le reste de la division aura alors pour expression (— n)™ — a". (]e reste ne pourra être nul que si ( — «)" est égal à a"', c’est-à-dire si m est pair. x“ — a" est donc divisible par x -(- a, lorsque m est pair.

Quant à la forme du quotient, remarquons que l égalité qui donne l’expression du quotient de x" — a" par x — a, reste vraie si l’on y suppose m pair et si l’on remplace a par — a. On trouve alors

= — =x"“' — ax*""’

La forme du quotient est la même que précédemment, sauf l’alternance des signes -+- et — ; le dernier terme a le signe — . 11 faut se rajipeler que les puissances impaires d’une (|uantité qui change de signe changent de signe, tandis (|ue ses puissances paires conservent celui qu’elles avaient d’abord ('iO).

ALGÈBRE ÈLÉMEJNTAlUE.

ai8

3°. Soit à diviser x"‘ ■+■ a’" par .v — a. Le reste de la division sera (a)” -+- «™= 2 a™. La division de x” + par x — a n’est donc jamais possible.

4®. Soit à diviser x" -t- «" par x 4- a. On peut écrire le diviseur sous la forme ^ — ( — a). Oetle transformation est nécessaire, car le théorème sur lequel nous nous appuyons repose lui-même sur celte condition, que le second terme du diviseur binôme est négatif. Le reste de la division sera Ce reste ne sera nul qu’aulanl que { — «)*• sera égal à — a”, c’est-à-dire que si m est impair, x" est donc divisible par X -I- a, lorsque ni est impair.

Quant à la forme di» quotient, nous changerons a en — a dans l’égalité (jui correspond à l’expression du quotient de ■r" — rt' par x — a, et nous y supposerons m impair. Il viendra . alors

La forme du quotient reste encore la même, sauf l’alternance des signes -f- et — ; le dernier terme est positif, parce que m — I est pair.

5“.^r™ — a” est évidemment divisible par xf — «r, si m est un multiple de p. Soit m =K/». Posons xi‘ = X et «'' = \. On aura x"'= X** cl a"‘ = A**, car (.r'']'' = x*'/’ cl [a'’)'» =

•D’après ce qui précède

= X^- 4- AX'*-' 4- A’X‘‘-> -t- ... 4- A*‘-’X 4- A''-'.

Mais

de même.

On a aussi

X'‘- ' = (xr)*'-' = xP'^-f = x”-P; X*-’ = x"-v, etc.

A’= («r)» = flV; A^ ■= (rtP)’ = «V, etc.

Nous avons en effet démontré en Arithmétique (74) que, pour élever une puissance à une autre puissance, il fallait multiplier le premier exposant par le second. Il viendra par suite :

■ = x”~P 4- aP x”~’P 4- a’Px”~‘P -f- ... -I- (f'~'‘PxP 4- a"~r.

xP — aP

La loi de formation du quotient est encore la même; seule- . ment, la somme des exposants dans chaque terme est égale à m — P et, lorsqu'on passe d’un terme au suivant, l’exposant de X diminue de p tandis que celui de a croît de p. ,

D’après les expressions générales que nous venons de trou-

ALCÈDHE ÉLÉMENTAIRE.

ver, üii a par exemple :

X + I 'jt’ •+• I

= x'^ 4- x‘ 4 - JC' 4- JC