Exemple. — Soit l’équation
4/’ — 3xy-yx^ — r-+- -ix I =o.
On a B’ — 4 AC < O : l’équation donnée représente une ellipse, il faut la ramener à sa forme la plus simple. Nous aurons
lang,. = ^=j^=i.
Par suite, la plus petite valeur de l’angle 2« est d’où . « = 22® 3o'.
l34 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
Des relations M 4- N = A -f- C, M — N = 4- y/( A — C)’4-B’ , on déduit
Par suite,
D ailleurs, les coordonnées du centre devront satisfaire aux équations dérivées
— 3jr 4- 2 Æ- 4- 2 = 0.
Ces coordonnées seront donc
On aura alors
P' — P l 4- Ear 4
L’équation de l’ellipse rapportée à ses axes sera donc-
ou bien
Les axes seront
2«=4\/ 26 = 4 1 /ZHEZZ .
V 35 — 21V/2 ^V 354-2iv^2
•/ « ,"^wt Parabole.
129. Considérons maintenant le cas de la parabole. Comme la courbe n’a pas de centre (111), la méthode suivie pour l’ellipse et l’hyperbole n’est plus applicable, et il convient de faire d’abord tourner les axes d’un angle «, de manière que le terme en xy disparaisse.
Les formules de transformation étant
X = x' cos a — y' sin «,
.>■ = x' sin a -h y cos a.
l'cquation deviendra, en supprimant les accents pour plus de
UÉOMÉTRIE AHÀLYTIQUE. l35
simplicité et en se reportant aux calculs précédents (135) :
M/’ N X’ H- D cos « — E sin a
^ -t- D sin« -h E cosa
Nous supposons que la valeur de a soit la valeur convenable pour faire disparaître le terme en xy. M et N ayant nécessairement les valeurs déjà indiquées (125), puisqu’un simple transport d’axes ne modifie pas les termes du degré le plus élevé, on aura d’ailleurs
Mais si l’on remplace B’ par sa valeur 4AC déduite de la relation caractéristique B’ — vient
et il en résulte nécessairement soit M = o, soit N = o. Ainsi, lorsque l’équation donnée représente une parabole, la disparition du terme en xy entmtne nécessairement celle de l’un des carrés des variables. C’est ce qu’on pouvait prévoir d’après la condition imposée B’ — 4 = o. Supposons N = o.
L’équation sera alors ramenée à la forme
en posant
D' = D cosa — E sin a, E' = I) sin a 4- E cosa.
On peut maintenant transporter les axes parallèlement à eux-mêmes de manière à faire disparaître deux nouveaux termes. On ne doit pas chercher évidemment à faire disparaître les termes du premier degré en y et en x, puisque alors l’équa- ^ tion ne représenterait plus une courbe; mais on peut se proposer d’éliminer le terme du premier degré en y et le terme indépendant des variables. L’équation sera finalement réduite à la forme
Mj’ 4- E'x = o,
c’est-à-dire que la courbe sera rapportée à son axe pour axe des X et à la tangente au sommet pour axe des j (116, 97). D’après cela, comme tous les diamètres de la parabole sont parallèles (113), la courbe se trouvait rapportée à un diamètre commeaxe des X après la première transformation effectuée. L'angle a dont il a fallu faire tourner les axes pour éliminer le terme en xy, sera donc donné immédiatement par la formule générale (113)
tanga= -ri
i36 géométrie analytique.
qui exprime l’inclinaison commune des diamètres de la parabole sur l’axe des x.
sin a et cos a auront donc les valeurs suivantes :
sina =
cosa= :•
En prenant pour a le plus petit angle ( compris alors entre
O” et i8o”) qui ait pour tangente — sin a sera toujours positif. On devra donc donner au radical, dans les deux valeurs précédentes, un signe contraire à celui de B.
En substituant les valeurs trouvées pour sin a et cos« dans les expressions des coefficients D' et E', il viendra
2AD-i-BE 2AE — BD
D = , - ■ ■: > Jti = - - ■
Pour terminer, il faut trouver les coordonnées de la nouvelle origine où l’on doit transporter les axes parallèlement à eux-mêmes pour passer de la forme
à la forme
M/* -f- D'y -+- lEJx -h F = O Mr’-i-E'a: = o.
Nous remarquerons à cet effet que l’abscisse de la nouvelle origine, par rapport aux axes qui correspondent à la première forme , doit rendre les deux valeurs de y égales entre elles. On a donc immédiatement, pour l’ordonnée de la nouvelle origine.
De plus, la condition générale — ^ac = o devant être alors remplie, l’abscisse correspondante sera déterminée par la.
relation
d’où
