MF = ML
c’est-à-dire
MF-t-MF'=F'L=aa, M'F=M'L',
c’est-à-dire
M'F-f-M'F'=F'L' = aa.
Les points M et M' appartiennent donc à l’ellipse, et, en ces points, les droites NT et NT' coupent en deux parties égales les angles formés par l’un des rayons vecteurs et le prolongement de l’autre : ces droites sont donc tangentes à l’ellipse aux points M et M' (143, I), et elles passent par le point donné N.
Nous avons dit que, le point N étant extérieur, les circonférences NF et F'L seraient toujours sécantes. En effet, la distance des centres NF' étant moindre que NF -f- FF', est à fortiori plus petite que la somme des rayons NF D’ailleurs,
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l54 GÉOMÉTRIE ANALYIIQVE.
le point N étant extérieur, on a
NF + NF'>2a (136), et l’on en déduira { en supposant 2 a > NF )
NF' > 2a — NF.
Si au contraire NF est )>2a, le triangle F'NF donnera
NF>NF — FF',
et, à fortiori ,
NF'>NF — 2a.
Donc la distance des centres, plus petite que la somme des rayons, est aussi plus grande que leur différence.
Remarque. — Les cercles décrits de chaque foyer d’une ellipse comme centre, avec le grand axe ia pour rayon, sont appelés cercles directeurs. On voit que tous les points de l’ellipse sont à égale distance de l’un des foyers et du cercle directeur qui correspond à l’autre foyer.
146. Si l’on veut mener A l’ellipse une tangente parallèle à une direction donnée, les inconnues du problème seront encore les coordonnées Xi, y\, du point de contact. Soit m le coefücienl angulaire qui correspond à la direction donnée; on aura à résoudre les deux équations
tn =
.rî
et, en faisant le calcul, on vérifiera que le problème est toujours possible. Les équations (i) et (2) montrent d’ailleurs que les points de contact demandés résulteront de l’inter-
section de l’ellipse proposée et de la droite j, = —
qui passe par l’origine. Mais il est préférable de chercher l’équation générale des tangentes 'à l’ellipse, indépendamment des coordonnées du point de contact. Il suffira pour cela, comme nous l’avons indiqué (57), de déterminer la relation qui doit exister entre les constantes m et n pour que la droite y = mx -t- n soit tangente à l’ellipse
Si l’on élimine r entre les deux équations, il vient
(a’at’-F h- ) x‘‘ 2rt’ mnx -\-d‘n^ — a' b^ — o.
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. l55
Si la droite considérée est tangente, l’équation ainsi obtenue doit avoir ses deux racines égales, d’où la condition
c’est-à-dire '
n' — a? b‘‘ ou nz^'àzyj a' ni'-’rb'^'
L’équation générale des tangentes à l’ellipse { équation qu’il importe de retenir) est donc
y = mx'àzsl à'm'‘-\-b''\
et en y donnant à m la valeur indiquée, on répondra immédiatement à la question. I/ellipse admet donc toujours deux taur gentes parallèles à une direction donnée.
147. Si l’on veut résoudre géométriquement le problème proposé, on se rappellera ( 143, 111} que le lieu des projections des foyers sur les tangentes à la courbe est la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre. Par suite, si la droite DD' marque la direction donnée [Jig. 72), il suffira d’abaisser du foyer F, par exemple, sur cette droite, la perpendiculaire indéfinie H'FII qui coupera la circonférence AA' en deux points II et H'. Par les points II et II', on mènera des parallèles HT et H' T' à DD', et la question sera résolue. Pour avoir les points de contact des deux tangentes, on prolongera FII d’une longueur UL=FH, et FH' d’une longueur H'L'=FH'.
On joindra ensuite le foyer F' aux points L et L', et les droites F' L, F'L', détermineront sur HT et H'T' les points de contact M et M'. Il suffit, pour vérifier les constructions indiquées, de remarquer qu’on a ^
