MF

CXy

— ex.

CXy

a} -h exi

a? — CXy

NF

a? H- CXy

■“NF'‘

La normale MN, divisant la base du triangle FMF' en segments proportionnels aux côtés MF et MF', est la bissectrice de l’angle FMF' [Géom., 89).

La normale MN divisant en deux parties égales l’angle FMF' des rayons vecteurs du point M, la tangente au point M est nécessairement également inclinée par rapport à ces mômes rayons vecteurs. Ainsi ; les rayons vecteurs du point de contact font, d'un même côté de la tangente et avec cette ligne, des angles égaux { * ).

(’) Cetlo importante propriété explique au point de vue physique (l'angle d'inridcnce étant égal à l'angle de réflexion) comment les rayons sonores, lumineux ou calorifiques, qui partent du foyer d'une ellipse, Tont se concentrer à l’autre foyer.

l5a GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Remarques. — I. La normale MN étant la bissectrice de l’angle intérieur FMF', la tangente MT est la bissectrice de l’angle extérieur FML, c’est-à-dire /a bissectrice de l'angle formé par tun des rayons vectefirsyiue point de contact et le prolongemetU^e l'antre.

Le pied N de la normale et le pied T de la tangente sur le grand axe, sont donc harmoniques conjugués par rapport aux deux.foyers F et ¥' [Compl. de Géom., 27).

IL On peut obtenir la tangente au point M, en remarquant que si l’on prend sur le prolongement de F'M,ML = MF (ce qui entraîne F'L =ia), le triangle FML étant alors isocèle et la tangente MT devant être la bissectrice de l’angle FML, elle se confondra avec la perpendiculaire élevée sur le milieu H de la base FL du triangle.

IIL Le point II étant le milieu de FL et le centre O de l’ellipse étant le milieu de la distance focale FF', la distance OH sera toujours égale à la moitié de la distance FL', c’est-à-dire à la constante a. Par suite, les projections des foyers sur toutes les tangentes à l'ellipse ont pour lieu géométrique la circonférence décrite sur le grand axe de la courbe comme diamètre.

\kh. Si l’on veut mener à l’ellipse une tangente passant par un point extérieur donné, les inconnues du problème seront les coordonnées x^,y,, du point de contact. En désignant par a, (3, les coordonnées du point donné, on aura à résoudre les deux équations

La première exprime que la tangente cherchée passe par le point donné.

Le mieux (60) est de regarder les inconnues Xy,y^, comme des coordonnées courantes et de déterminer les points d’intersection des lieux représentés par les équations (i) et (a). Or l’équation (a) représente alors l’ellipse proposée elle-même, l’équation (i) représente une droite facile à construire. En faisant successivement dans cette équation y, = o et x,=o, on a en effet

I.a droite obtenue ainsi coupera toujours l’ellipse en deux points (comme il est facile de le vérifier) si le point(a, P) est

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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. l53

bien extérieur à la courbe ; on donne à cette droite le nom de corde des contacts. En joignant les points où elle rencontre l’ellipse avec le point donné, on aura les deux tangentes qui répondent à la question.

L’équation de la corde des contacts s’obtient en remplaçant dans l’équation de la^ngente les coordonnées variables x,y, par les coordonnééà mes «, j3, du point extérieur, et en regardant les coordonnées JT,, ji, du point de contact comme des coordonnées courantes.

Le point (a, (3) est le pôle de la corde des contacts qui est la polafre de ce point.

Nous reviendrons plus loin sur ces dénominations appliquées aux courbes du second ordre et sur les propriétés correspondantes.

145'. On peutaussi, en s’appuyant sur ce qui précède, mener ‘géométriquement une tangente à l’ellipse par un point extérieur.

Du point donné N comme centre, avec N F pour rayon, décrivons une circonférence {Jig. 71); du foyer F' comme centre, avec aa pour rayon, décrivons une autre circonférence. Ces deux circonférences seront toujours sécantes, si le point N est extérieur à l’ellipse. On mènera alors les cordes qui, dans la première circonférence, joignent le foyer F aux points d’intersection obtenus L et L'. Du centre N, on abaissera sur ces cordes les perpendiculaires NT, NT' : ce seront les tangentes demandées. Car si l’on joint le foyer F' aux points d’intersection L et L', les droites NT et NT' seront coupées par les droites F'L et F'L' aux points M et M', et l’on aura