PL:=I)E = AE — AI
UÉOMKTIUn ANALYTIQUE.
Le triangle SAE donne
^^sin(y + ^)^ d-où (I siiio sino
Le triangle ADP donne ensuite
d'où
AP ou X sino sinçi
On aura done
PL = ^sin (y + a) sin (y +3 — a) ^ sin â sin o
Par suite, l’équalion j’= IP.PL deviendra
, f/ sin a sin (y -4- d) sin«sin(y-|-d — a)
^ sin y sin d sin y sin d
L’angle y + d — a est évidemment inférieur à i8o"; mais il peut être négatif. L’équation obtenue représentera donc une ellipse si l’on a
sin{y + d — «)l>o ou y-t-d — a>o;
une hyperbole si l’on a
sin(y + d — a)c^o ou y + d — a<^o;
une parabole si l’on a
sin (y -4- d — «) = o ou y-4-d — a = o.
Si l’on désigne par 2 p l’angle FSG, on peut remplacer y -4- d par 180® — 2(3, et les conditions précédentes deviennent
comme au n“ 221.
Section anti-parallèle du cône oblique.
225. Cherchons dans quels cas la section plane obtenue est un cercle. 11 faut que l’on ait (52)
ou
Mais
sin a sin (y -I- d — a)
sin y sin d
sin a sin (y -I- d — a) = sin y sin d.
et
cos (2 a — y — d) — cos (y -4- d) = 2 sin a sin (y -4- d — 2) cos(y — d) — cos(y -t- d) = 2sin y sin d.
aa8 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
L’cqualion de condition revient donc à
cos (2 a — y — â) = cos (y — ô).
Or [Trig., 8) les arcs qui ont un môme cosinus sont compris dans les formules
et
Il en résulte que ceux de ces arcs qui sont renfermés dans la môme formule {p) ou [q) ont pour différence un nombre exact de circonférences, tandis que ceux qui ne sont pas renfermés dans la môme formule ont pour somme un nombre exact de circonférences.
On devra donc avoir, soit
2a — y — ô — (y — è) = ^n'T. ou a — y = n'-i:\ soit
2a — y — ô -t-(y — ô) = an'r ou a — à = n'i:.
Comme les angles a, d et y sont inférieurs à tt, on ne pourra donner à n' que la valeur zéro. Par suite, la section plane d’un cône circulaire oblique est une circonférence de cercle ;
1“ Lorsqu’on a a = y, c’est-à-dire {fig. 1 10) lorsque le plan sécant est parallèle à la base du cône (Géom., 227);
2“ Lorsqu’on a a = d, c’est-à-dire lorsque la trace AB du plan sécant sur le plan principal, et la trace FG de la base du cône sur le même plan, sont anti-parallèles par rapport aux côtés de l’angle FSG {Géom., 113) ; d’où le nom ô! anti-parallèle donné à cette seconde section circulaire.
Dans le cas du cône droit, les deux solutions se confondent.
226. On peut très-facilement retrouver le résultat précédent par la Géométrie.
En effet, si la section AMB est un cercle {fig. 1 10), on a à la fois
MP’=A1>.PB et MP’=1P.PL,
d’où
