Prenons l’équation générale des courbes du second degré
Bxy-\- Cx^-y ü.r + Eo; + F -- o.
L’équation d’une tangente menée à la courbe donnée par un point (x,, y,) pris sur cette courbe est (74)
(aAj,-l-Bx,-t-D)/-|-(By,+ 2Cxi-i-E)x-f-Dj,-i-Ex,-i-2F= o.
Si l’on veut mener à la conique une tangente par un point extérieur («, (3), on aura immédiatement pour équation de la corde des contacts (144)
(L) (2 A;('’i+Bxi+I)) (3-4-(B^,4-2 Cx.+E) a+D/,-l-E x,+2 F=o.
et X, représentent alors les coordonnées courantes et on peut les remplacer par r et x.
Si l’on choisit les axes, comme au n® 228, et si l'on place l’origine au point (a, (3), on aura
L’équation de la corde des contacts deviendra donc Ex -h 2 F = 0.
En se reportant au n° 228, on peut dire alors que la polaire du point P ( supposé extérieur) n’est autre chose que la corde de contact {indéfiniment prolongée) des tangentes menées par le point P à la conique proposée.
Remarques. — I. Si le point P est intérieur, la corde de contact est imaginaire; mais son équation continue toujours de représenter la polaire du point P.
II. Si le pôle P est sur la courbe, il faut faire F = o. L’équation de la polaire ou de la corde des contacts devient x = o, et la polaire se confond avec l’axe des y ou avec la tangente menée à la courbe par le point P.
III. Si le pôle P est au centre de la conique, on a E = o. L’équation de la polaire est donc x = cc, c’est-à-dire qu’elle se transporte à l’inrini.
CéOMÉTIUE ANALYTIQUE. 233
IV. Le pôle d’une sécanie IH [Jig> «12) est le poini de rencontre P des tangentes qui correspondent aux points d’intersection de celte sécanie et de la conique.
V. Les points P et H sont réciproques, c’est-à-dire que la polaire de l’un passe par l’autre. En effet, l’équation (L) de la corde des contacts ne change pas quand on permute les coordonnées (3, «, et les coordonnées courantes , x, ou jr, x. Ainsi, IH étant la polaire du point P, la droite PR est à son tour la polaire du point U.
VI. Lorsque, l’origine étant toujours au point P, les axes auxquels la conique est rapportée sont quelconques, l’équation de la corde des contacts ou de la polaire du point P devient [en faisant a = (3 = o dans l’équation (L)]
Df-h^x -+■ iF = O.
231. Si le pôle P décrit la droite PR, toutes les polaires correspondantes aux diverses positions du point P se croisent au point H, pôle de PR (fig- 1 12).
Pour toutes les polaires considérées, on a a — o. Leur équation, d’après les axes choisis, est donc (230)
2A^|3-f-Ear-|-2F = O.
Si l’on fait dans celle équation y=o, on trouve pour l’abscisse constante du pied des polaires sur l’axe des x.
c’est-à-dire celle du point H.
Réciproquement, si l’on fait tourner la droite PR autour du point P, tous les pôles correspondants aux diverses positions de la droite PR se trouveront sur la droite IH, polaire du point P.
Si nous conservons les mêmes axes, IH aura toujours pour équation
~Ex -+- 2F = O.
Désignons par (a, p) les coordonnées du pôle d’une droite quelconque passant par le point P. L’équation de celle droite sera de la forme (230)
•iSyP -t-{2Car-(-E)a-+-Ej:-t-2F = o;
et comme elle passe par l’origine, son équation devra être satisfaite pour = o et = o. Il viendra alors
relation qui prouve que le point («, (3) appartient à la droite IH.
a34 GÉOMÉTHIE ANALYTIQUE.
232. Conséquences. — I. Si des différents points d’une droite on trace des couples de tangentes à une conique, les cordes de contact viennent se croiser au pôle de la droite considérée (230, 231).
II. Si l'on mène par un même point une série de sécantes à une conique, les points de rencontre des couples de tangentes correspondantes appartiennent à la polaire du point considéré (230, 231).
III. E n joignant les pôles de deux droites par rapport à une conique, on obtient la polaire de leur point de rencontre. En effet, ces deux droites peuvent être regardées comme les positions différentes d’une même droite passant par leur point de rencontre (231).
IV. Il résulte de là que si deux polygones d’un même nombre de côtés tracés dans le plan d’une conique sont tels, que les sommets de l’un soient les pôles des côtés de l’autre, les côtés du premier polygone auront à leur tour pour pôles les sommets du second, ün donne alors à ces polygones le nom de polaires réciproques.
En particulier, un polygone étant circonscrit à une conique, on obtient son polaire réciproque en formant le polygone inscrit qui correspond aux points de contact de ses côtés (230, II).
233. Prenons l’équation de l’ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués,
On peut toujours supposer le pôle P situé sur l’axe des x (Jig. Il 3), soit OP = «. L’équation de la polaire du point P sera alors (230)
xa a"‘
— - z= I ou x= — a'’ a
Si l’on désigne par OH la valeur — » il viendra donc a'^=OP.OH.
On arriverait de la même manière à un résultat analogue pour l’hyperbole.
On peut donc énoncer le théorème suivant, qu’on rapprochera de celui déjà démontré {Compl. de Géom., 3V) : Dans l'ellipse ou l’hyperbole, le demi-diamètre qui passe par le pôle est moyen proportionnel entre les distances [comptées sur ce diamètre) du centre de la courbe au pôle et à la polaire.
GÉOMÉTIIIE ANALYTIQUE. 235
La relation obtenue démontre immédiatement plusieurs des résultats déjà trouvés (230). Elle prouve en particulier que si le pôle est intérieur, la polaire est extérieure à la courbe, et réciproquement. Elle prouve aussi que le pôle et la polaire sont d’un même côté par rapport au centre, dans le cas où l’axe des x est un axe transverse.
Si la courbe est rapportée à ses axes, et si l’on place le pôle au foyer, ce qui revient à poser a = c, on aura (en désignant par Z la distance inconnue de la polaire au centre)
Dans l’ellipse et l’hyperbole, comme dans la parabole ('^9), chaque foyer a donc pour polaire la directrice correspondante.
234. Si l’on mène par le point V à la conique considérée les deux sécantes AB et CI), les cordes KD et BC se croiseront au point I, les cordes AC et BD prolongées se couperont en H, et la droite IH sera la polaire du point P [fg. 1 14)-
Prenons pour axe coordonnés les deux sécantes AB et CD. L’équation de la conique sera de la forme
A 7^’ + Ba:^'-I- Car’-f- Dj-I-Ea; -J- F = o.
rs
Désignons PC par q et PD par q', PA par p et PD par p'.
Les équations des cordes considérées seront
(AD
