PP

Si l’on fait x =o dans l’équation de la conique, il viendra

Aj’-t-D^+F = o.

Les racines de cette équation, ordonnées des points d’intersection de l’axe des j avec la courbe, représenteront q et q'. On aura donc

On aura de même, en faisant x = o dans l’équation donnée, C a;’ -H Ea: -|- F = o.

d’où

P+P' = — Q et PP' = ^-

L’équation de la droite IH deviendra alors

c’est-à-dire

!);'• -f-Ear-t-aF = o; ce qui démontre le théorème (230, VI).

Remarques, — I. Ayant construit IH, en joignant le point P avec les points où IH coupe la courbe, on aura les tangentes issues du point P (230). C’est la construction la plus simple qu’on puisse employer pour mener les tangentes à une conique par un point extérieur.

IL Si les cordes AC et BD se trouvaient parallèles, la droite III leur serait aussi parallèle.

III. Le point P étant le point de rencontre des sécantes .\B et CD, la droite IH contient les pôles de ces sécantes (231). D’après cela, pour tracer une tangente par un point A donné sur la courbe, on mènera une corde AB quelconque. En construisant arbitrairement le quadrilatère ABCD de la ^g. 1 14» et en opérant sur ce quadrilatère comme on vient de l’indiquer, on obtiendra un lieu rectiligne du pôle de AB. En faisant varier le quadrilatère ABCD tout en conservant AB, on obtiendra un second lieu rectiligne du même pôle. Si l’on se rappelle alors que les pôles de toutes les sécantes partant du point A appartiennent à la polaire du point A (231), et que cette

GÉOMÉTHIE A^ALYT^Q^JE. aSy

polaire est précisémcnl la tangente en A (*230, II), on n’anra qn’à joindre le pôle de AB au point A pour avoir la tangente demandée.

235. Théorème de Pascal. — Dans tout hexagone inscrit à une conique, les points de concours des côtés opposés, prolongés deux à deux, sont en ligne droite {Jig. 1 15).

Les côtés opposés sont séparés par deux côtés consécutifs. Soit l’hexagone inscrit ABCDEF. Nous prendrons pour axe des X la diagonale \I), pour axe des y une droite quelconque passant par le point A.

La conique aura une équation de la forme

(1) A^^’’ -+• Bjtj--|- Car’-t- D/-1- Ex = O.

Le système des deux droites AB et CD, dont l’une passe par l’origine , sera représenté par une équation du second degré de la forme

(2) A'^-’-l- B'xj Cx’-t- Ex = O.

Les coefficients des termes en x’ et en x peuvent être supposés les mêmes dans les équations ( i ) et {2), parce que la conique et le système des deux droites rencontrent l’axe des x aux mêmes points A et I).

Pour une raison semblable, le système des deux droites AF et DE sera représenté par une équation du second degré de la forme

(3) A''/’-h B"x/-f- Cx*-(-D"/-t- Ex = o.

Retranchons membre à membre les équations (i) et (a), (1) et

(3) , (2) et (3); il viendra

(4) (A — A')^- -H (B - B')xr-^ (D - D').r = o, ou

(5) {A - A")r’ 4- (B - B") XJ4- (D — D"),r = ou

(6) (A' — A'O.r’-i- (B'— B")xj-t- (D'— D")j= o,

L’équation (4) doit être satisfaite par les coordonnées des points communs à la conique et au système des droites AB

a38 CÉOMÉTIUE ANALYTIQUE.

et CD. j= O représentant l’axe des ar ou la droite AD, la droite BC est nécessairement représentée par l’équation

L’équation (5) devant être satisfaite par les coordonnées des points communs à la conique et au système des droites AF et DE, on verra de même que la droite EF a pour équation

Enfin, l’équation (6) devant être satisfaite par les coordonnées des points communs aux deux systèmes rectilignes AB et CD, AF et DE, si l’on met de côté le facteur / = o ou l’axe des X, l’équation

(9) (A'— A")y-I-(B' — B")ar-f-D' — D'=o

représentera une droite passant par les points de concours I et L des droites AB et DE, CD et AP’. Mais, en retranchant les équations (7) et (8), on aura une équation satisfaite par les coordonnées du point H commun aux droites BC et EF; et cette soustraction conduit précisément à l’équation {9). Les trois points I, L, H, sont donc en ligne droite.

Remarque. — Le théorème de Pascal ne dépend pas de la grandeur des côtés de l’hexagone inscrit, c’est-à-dire qu’il subsiste lorsque quelques-uns de ces côtés deviennent des tangentes à la conique.

236. Théorème de Brianxhon. — Dans tout hexagone circonscrit à une conique, les diagonales qui joignent les sommets opposés {c'est-à-dire le premier et le quatrième, le second et le cinquième, le troisième et le sixième) se coupent en un même point {fi g- 1 16).

Soit l'hexagone circonscrit ABCDEF. En joignant les points de contact successifs, nous formerons l’hexagone inscrit aôc</e/', polaire-réciproque du circonscrit (2‘32, IV). Soient i, h, l, les points de rencontre des côtés opposés de l’hexagone inscrit. Les sommets A et D étant les pôles des côtés af et cd, le point de rencontre i de ces côtés sera le pôle de la diagonale AD (232, III). De même, les points A et / seront tes pôles des diagonales BE et CF. D’après le théorème de Pascal, les trois points i, h, l, sont en ligne droite; les polaires de ces points ou les diagonales de l’hexagone circonscrit se croiseront donc en un même point, pôle de la droite ihl (231).

Remarque. — Le théorème de Brianchon ne dépend pas de la grandeur des côtés de l’hexagone circonscrit, c’est-à-dire

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. a3()

qu’il subsiste encore lorsque, quelques-uns des angles de l’hexagone devenant égaux à deux droits, les côtés correspondants ne font plus qu’une seule tangente à la conique.

Du nombre de conditions nécessaires pour déterminer une courbe du second degré.

237. D’une manière générale, le nombre de conditions ou le nombre de points nécessaires à la détermination d’une courbe quelconque est indiqué par le nombre de constantes arbitraires ou de paramètres que renferme son équation. Il est bien entendu que cette équation est alors la plus complète possible, c’est-à-dire que la courbe occupe, par rapport aux axes, une position tout à fait quelconque.

Comme la définition adoptée pourrait accroître, dans certains cas, le nombre de conditions cherché au delà de celui qui est réellement nécessaire, il faut avoir soin de remarquer que les coefficients distincts qui contiennent les constantes arbitraires étant déterminés, il en est de même de la courbe. En réalité , il faut donc compter dans ces cas spéciaux , non les constantes arbitraires qui peuvent entrer d’une manière quelconque dans les coefficients des différents termes , mais ces coefficients eux-mêmes auxquels on peut alors réserver la qualification de paramètres. C’est ainsi que l’équation du cercle présentera toujours, en tout système de coordonnées, trois paramètres seulement, quelque définition qu’on ait adoptée. S’il s’agit de coordonnées rectilignes, les coefficients des termes en et en seront toujours égaux à l’unité ; celui du terme en xy sera toujours -h 2 cos G (0 étant l’angle des axes); ces conditions dépendent de la nature, de l’espèce de la courbe , et ne comptent pas comme conditions particulières de détermination. Il ne restera donc à considérer que trois paramètres variables, qui seront les coefficients des termes du premier degré et le terme indépendant lui-même.

238. Si la courbe donnée occupe par rapport aux axes une position particulière, son équation elle-même devient particulière. Pour répondre à la question posée d’une manière certaine, c’est-à-dire pour rentrer dans le cas précédent, il faut effectuer une transformation d’axes indéterminée, en les faisant tourner autour de l’origine (sans changer leur inclinaison mutuelle), et en transportant cette origine en un point quelconque. Les formules à employer sont alors (les axes étant supposés rectangulaires)

.r = a-t-ar'cosa — /'sina,

/ = ô -4- sin a -i- j' cos X.

24o Géométrie analytique.

On inlroduil ainsi trois nouvelles constantes arbitraires a, b, x, et en comptant, soit les paramètres de la nouvelle équation (c’est-à-dire les coefficients des termes distincts obtenus), soit le nombre total des constantes arbitraires, on aura le nombre de conditions demandé. Il est en effet essentiel de remarquer que, d’après les explications données plus haut, le nombre de ces conditions est égal au plus petit des deux nombres qu’on trouve en supputant, soit le nombre des constantes arbitraires, soit le nombre des coefficients distincts.

Si l’on part de l’équation du cercle rapporté à son centre ar’-f- j’= »•’, on voit qu’on aura à considérer quatre constantes arbitraires^r, a, b, x, mais qu’elles n’entreront que dans trois termes distincts. Donc la détermination d’une circonférence de cercle exige toujours trois conditions.

Si l’on part de l’équation particulière trouvée pour la cissoïde (70)

on voit immédiatement que les quatre constantes arbitraires d, a, b, X, entreront dans plus de quatre termes distincts. Donc la détermination d’une cissoide exige toujours quatre conditions.

Remarque. — Il est évident que le nombre de conditions nécessaires pour la détermination d’une certaine courbe reste invariable, quel que soit le système de coordonnées adopté.

239. Ces généralités indiquées, considérons spécialement les courbes du second degré.

L’équation la plus générale de ces courbes pouvant toujours être mise sous la forme

Aj’-t- Ba:/-|-Ca:^-l-D;'-i-Ear-|- i = o

(en divisant les deux membres par le terme indépendant des variables), on voit que la détermination d'une courbe du second ordre exige cinq conditions.

Lorsque la courbe est une parabole, on doit avoir

B’— 4AC = o,

relation qui permet de réduire à quatre le nombre des constantes arbitraires (inférieur alors à celui des coefficients distincts).

En résumé, la détermination d’une ellipse ou d’une hyper-

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GÉUMÉTIIIK AJNALYTiyL’E. 24 I

bole- exige cinq conditions, celle d’une parabole en exige quatre.

Remarque. — Astreindre une courbe à passer par un point donné, c’est l’astreindre à une condition. En effet, si la courbe représentée par l’équation F{x, 7) = o doit passer par un point {p, q), les paramètres de la courbe devront être liés par l’équation de condition F(/>, q) = o.

240. Équation d’une conique passant par cinq points donnés dans un plan.

On peut toujours prendre pour axes deux droites sécantes déterminées par quatre des points donnés. L’équation de la conique sera de la forme

(i) Aj’-i- Bxj-t-Cx’-t- Dj-t- Ex-l- « = O.

Soient (o, p) et (o, p') les deux points situés sur l’axe des x, (q, o) et iq', o) les deux points situés sur l’axe des j, {b, a) le cinquième point donné.

Si l’on faitj^ = o dans l’équation (i), il vient

Cx’ ■+■ Ex -(-1=0.

Les racines de cette équation, abscisses des points où la conique coupe l’axe des x, sont précisément p et p'. On aura donc

-^=p-hp ip=PP-

On en déduit

C = -L el E = -£±^.