COS

cos (3 =

> cosa

VA’-i-B“-f-C’

—, cos 3' =

v/A'»-hB”-hC"

COSy= —, COS/=-;rr-

Il viendra donc

riÉOMÉTRIE AKALYTigUE.

, AA'+BB'+ay

cosV = -■ - , — rr-

Si les deux plans sont perpendiculaires, on a

cosV=o,

c’est-à-dire

AA'-^BB'-^-CC'=o.

Telle est la condition de perpendicularité de deux plans. Les deux plans seraient parallèles, si l’on avait

cos V= I, .

c’est-à-dire . .

(AA' -4- BB'-hr,C')*=(A’-|- B’ -4- C’) (A"-4- B” -I- C").

En développant cette relation, on retrouverait facilement les conditions déjà indiquées (315).

319. Distance d’un point à un plan, les axes étant supposés rectangulai res.

Soient (r', j', z') et Aa;-4-Bj-(-Cz -i-l) = o le point et le plan donnés. Transportons les axes parallèlement à eux-mêmes, en prenant le point donné pour nouvelle origine. L’équation du plan proposé deviendra (295)

X(x + x' ) -f- B (j-f- >•')-)- C(a -4- z') -4- Ü = o ou

Ax -4- Bj-+- Cz -4- (Ax'-h Bj^-'-t- Cz'-4- D) = o,

La distance de la nouvelle origine à ce plan, c’est-à-dire la distance cherchée, aura alors pour expression (317)

Ax'-4-Br'-)-Cz'-4-l)

Comme il s’agit d’une distance absolue, on devra donner au dénominateur de l’expression le même signe qu’au numérateur.

Remarque. — 11 est essentiel de noter que la distance d’un point à un plan est une fonction du premier degré, entière et rationnelle, des coordonnées de ce point. Il en serait encore de môme (d’après les formules de transformation) si les axes coordonnés étaient obliques.

Comme on déduit de la valeur de à i

Ax'-h B^'-t- cz'-i- 1) = a B'-4-

Oh \oii(|ue toute fonction de colle forme représente le pro-

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 3l3

doit d’un certain nombre par la distance du point considéré au plan représenté par cette même fonction égalée à zéro.

On peut rapprocher ces résultats de ceux fournis par la géométrie plane (45, 131).