Equnlion du plan qui passe par trois points donnés
Si le plan A.r + Hr-h Cz -|- I) = o passe par les trois points (x', y', z'), {x", y", z"), [x"', y"’, z"'), on aura, pour détcr-
miner les trois paramètres jy jj
les tiois équations du
premier degré
ax'4-b/-i-(:;' + u = o,
Ax'-I- Br"-f-Cs"+ 1) = O, \x”->r Bj"'-|- (\z'"+ ü = O.
Tant que les trois points donnés ne seront pas en ligne droite, on trouvera pour les inconnues du problème des valeurs finies et déterminées.
317. Distance de l’origine à un plan, angles de la normale au plan avec les trois axes supposés rectangulaires.
En désignant par «, [3, y, les angles formés avec les trois axes par la perpendiculaire abaissée do l’origine sur un plan quelconque," et par ô la longueur de cette perpendiculaire, nous avons vu (312, 3“) que l’équation générale du plan pouvait être mise sous la forme
ou
X cos St 4- j-cos{3 + z cosy = <3
xcosa t'’COs{3 zcosy
Identifions cette équation avec l’équation usuelle A X -h B J- 4- C z -(- D = O
Il viendra
cos a ~~8~
cos P
COS y
Si l’on élève ces relations au carré et si on les ajoute membre à membre, il vient (294)
cos’a 4- cos’(3 4- cos’y i 'a’4-B*4-C‘
-$1 ~ô’~ ÏV
OftOMÉTRlE ANALYTIOUE. 3ll
On en déduit
. ô = =iL-.
Comme il s’agit d’une distance absolue, le radical devra recevoir dans cette formule le même signe que D. ün aura ensuite
COS a = —
VA’ -h B’ -t- O
cosj3 = —
Bô
COS y = —
VA’-HB'-i-C»
Bans ces dernières formules, le radical est susceptible d’un double signe qui correspond aux deux angles que la normale forme en réalité avec chaque axe, et l’on peut, sans inconvénient, changer le signe des numérateurs.
Remarque. — Les angles de la normale au plan donné avec les trois axes sont aussi ceux de ce plan avec les trois plans coordonnés. L’angle de la normale avec l’axe des x, par exemple, correspond à l’angle du plan avec le plan'des yz [Géom., 190).
318. Angle de deux plans, les axes étant supposés rectangulaires.
Pour trouver l’angle des deux plans
Ax + B^’-+- -1- D = O,
le plus simple est de chercher l’angle V des deux perpendiculaires abaissées de l’origine sur ces plans {Géom., 190). Soient a, (3, y, a.', (3', y', les angles respectivement formés par ces deux perpendiculaires avec les trois axes. On aura (294)
cosV= cosacos«'-|- cos^cos[3'-t-cüs-/cosy'. D’ailleurs (317)
