Si l’on considère isolément l’équation . X, z) = o

elle représente une surface qui est coupée par la surface

suivant une courbe dont la tangente au point (r,, 7,, z, ) est représentée par les équations (3). Si l’on fait varier la fonction <K en conservant toujours le jwint {.ï, , X, , ), on fera varier lés courbes d’intersection ainsi

que leurs tangentes au point (x, , y,, z,) : on peut demander le lieu tic toutes ces tangentes qui sont celles qu’on peut mener à la surface ' F (x,x, z) = U par le point considéré.

Or, <t> variant tandis que F reste constant, les coordonnées de ces différentes tangentes satisferont continuellement à la première des équations (3), qui, dès lors, représente le lieu demandé. Ce lieu est donc, en générai, un plan qu’on qualiGe de plan tangent à la surface F au point

t^l 1 Xi î Z, )•

Ainsi le plan qui contient toutes les tangentes menées à la surface F(x, Xi z) = O par le point (x, , , z, ) pris sur cette surface, ou le plan

mené tangentiellenient a la surface par le point (.r, , y^, z, ), a pour

équation > t '

V 3'i7. La perpendiculaire menée au plan tangent par le point de contact (x, , Xn z, ) est la normale à la surface en ce point.

La normale à la surface F (.r,x, z) = o au point (.r, , r, , z,), aura donc

pour équations (32f) .r — X, = ou

318. Exemple. — Les axes étant rectangulaires, soit la sphère

(x — + — p)’-t-(z — y)’=zR’ - '

dont le centre est le point (a, (5, 7) et dont le rayon est R. Le plan tangent au poinl(.t:, , J, , Z|) do la surface aura pour équation {3iC)

en y joignant la condition

Cette condition permet de mettre l’équation du plan tangent sous la forme (2)

En effet, le terme (x — .rj (x, — a) du premier membre do l’équation (1) l>eut s’écrire

et on peut transformer de la même manière tes autres termes de ce premier membre.

Les équations de la normale à la .sphère au point (x, , , 2,) seront (347)

Ces équations montrent que la normale passe par le contre de la sphère. .Vinsi toutes les normales à la sphère sont ses rayons.

349. Nous avons dit (34G) que le lieu des tangentes menées ù une surface par l’un de scs points était en général un plan. Il peut en être autrement aux points singuliers qu’une surface peut piésenter. Par exemple, au .sommet d'un cône, si l’on y suppose l’origine placée, les trois dérivées partielles F' , F' , F' , se trouveront nulles pour x, =^, = 2, = o, en

vertu do l’homogénéité do l’équation (334). L’équation du plan tangent (346) se réduira alors à une identité. Et en effet, toutes les génératrices du cône étant à elles-mêmes leurs propres tangentes, le lieu des tangentes menées à la surface par son sommet n’est pas un plan, pui.sque c’est la surface elle-même. Il en serait de même s’il s’agissait de mener un plan tangent à une surface do révolution en l’un des points où l’axe jierce la surface, si le méridien de la surface ne coupait (las l’axe sou^“un angle de 90", c’est-à-dire que le lieu des tangentes serait encore un cône, droit dans ce cas.

GÉOMÉTRIE AKALYÏIQUE. wSj

350. On entend par contoi’r apparent iVune surface sur un plan la projection sur ce plan de tous les points de la surface pour lesquels le plan tangent est perpendiculaire au plan de projection choisi.

Il est facile de trouver l’équation du contour api)arent d’une surface sur l'un des plans coordonnés, celui des xjr par exemple.

• Les a.ves étant rectangulaires, les plans tangents correspondants au contour cherché seront parallèles à l’axe des z ; leur équation ne devra donc pas contenir cette variable, ce qui entraîne la condition

On n’aura alors qu’à éliminer z entre l’équation de la surface F = o

et l’équation de condition F^=o, pour obtenir l’équation du contour apparent de la surface sur le plan des xy.

Soit la sphère -

On aura

Par suite on doit faire 1 = 7 dans l’équation (i), et l’on trouve le cercle (X -«)’+(/-?)’= R’

pour contour apparent de la sphère sur le plan dos xy.

351. Il arrive qu’au lieu de donner la directrice d’une surface (328),

on indique qu'elle doit être ciivonscritc à une autre surface donnée. Il ' faut alors déterminer la courbe de contact des deux surfaces, et la prendre pour directrice de la surface cherchée. ^

Supposons qu’il s’agisse, par exemple, d’une surface cylindrique. Si là surface à laquelle elle doit être circonscrite a pour équation

cette équation pourra êlre prise pour l’une de celles dont l’ensemblo représente la courbe do contact.

Pour eu obtenir une seconde, il suffit de remarquer que, pour tous les points de la courbe de contact, le plan tangent doit être coibmun aux deux surfaces.

En effet, soit (x, , , z,) un point do la courbe do contact. Le plan

langent mené au point (x,,y,, z,) de la surface F(x, z) = o, aura pour équation (346)

Ce plan contiendra la génératrice de la surface cylindrique qui passe par le point(x, , J,, z,), puisque cette génératrice est à elle-même sa propre tangente. Les ér|uations de cette génératrice étant