CHAPITRE TU

\PRR(;i! DE QUEI.QtJES THÉORIES GÉNÉRAEES .

Du centre.

3.‘i2. L(‘ crnlrc d'une surfarp est un jioint qui ilùi.ic en deux parties égales toute corde de cette surface qui y passe, -

Supposons que la surface considérée ait un centre et que l’origine des coordonnées y soit placée. Toute corde passant par l’origine sera divisée [>ar ce point en deux parties égales, de sorte que les extrémités de çetlo corde auront des coordonnées égales et de signes contraires (287, 1). .

L’équation de la surface restera donc fa môme, lorsqu’on remplacera d’une manière générale .r par — ,r, y par — y, z par — z.

Réciproquement, si l’équation d’une surface n’est pas modifiée par la substitution do — x, de —y et de — s à la place dex, de y et de z, l’ori- > gine des coordonnées est un centre de la surface. Car si par le point M dont les coordonnées sont x, y, z, on mène une droite passant par Tori gine, et si on la prolonge jusqu’au point M' de manière que l’origine soit au milieu de la longueur MM', les coordonnées du point M' seront précisément — X, —y, — 2; donc le point M' appartiendra à la surface.

Ainsi, que t équation d'une surface soit algébrique nu transcendante, r origine, des coordonnées sera un centre lorsqu'on ixmrra, sans duinger F équation, remplacer x, y, a, par — x, — y, — a.

S.’jS. Soit en particulier une équation algébrique irréductible. Si la surface qu’elle représente a [lour centre l’origine des coordonnées, tous ses termes seront de môme parité, c’est-à-dire tous de de.gré pair ou tous de degré impair, de manière à ne pas changer de signes ou à en changer tous à la fois. En effet, remplaçons x par — .r, y [jar — y, z par — z, dans le terme général Px"/'’-"’'""'’. Si n, p et /n — n — p sont tous trois pairs, c’est-à-dire si m est pair, le terme considéré ne changera pas de signe. Il en sera encore de môme si sur les trois exposants il y en a un pair et deux impairs. Si n, p et m — n—p sont tous trois impairs, c’est-à-dire si m est impair, le terme considéré changera de signe. 11 en sera encore do môme si sur les trois exposants il y en a deux pairs et un impair.

Hemarque. -- Dans le nas où l’équation est de degré impair, elle, ne doit donc pas contenir de terme indépendant des variable.s. Et alors, s’il y a un centre, il est situé sur la surface elle-même.

GÉOMÉTIUE A^ALVTlQtlE. ' 33^

La méthode pour déterminer le centre d’une surface algébrique découle immédiatement do ce quf précède.

En effet, si le centre supposé n’est pas à l’origine, on le reconnaît à ce que les termes de l’équation sont de parité diü'éronte. En désignant par

ç, r, les coordonnées du centre cherché, on effectue alors une transformation d’axes indéterminée, en les transportant parallèlement à euxmérnes au point (p, 7, r) ; ce qui revient à remplacer dans l’équation : X, J, 3, par x-l-;;, .r+7, 3-1- c. Si l’équation transformée est de degré pair, on égale à zéro les coelUcionts de tous scs termes de dqgré impair; si elle est de degré impair, on égale à zéro les coefficients de tous ses termes do degré pair. On obtient ainsi dt-s équations qui jiermcttont do déterminer les coordonnées p, 7, r du centre, lorsqu’il existe.

Remarque. — S’il s'agit d’une étiuation transcendante, après avoir effectué la transformation de coordonnées indiquée, on change dans l’équation X, y, Z, 'en — c, —y, — 3. Les deux équations ainsi obtenues doivent rester identiques, si la nouvelle origine est un centre; et si leur identification est pos.sible, elle conduit aux coordonnées p, 7, /•, du centre cherché.

Des surfaces diamétrales.

355. On entend par 'surface diamétrale (Fane surface, une autre surface lieu des milieux iCun système de cordes menées flans la première surface partdlèlcment n une direction donnée.

Pour trouver l’équation générale des surfaces diamétrales d’une surface dont l’équation est donnée, voici théoriquement la marche qu’on peut suivre.

.Soit F{'x, y, 3) = O l’équation proposée. Soient m et n les coefficients angulaires dos projections des cordes parallèles données sur le plan des x3 et sur celui des jz. Désignons par X, Y, Z, les coordonnées du point milieu d’uué quelconque d’entre elles. Transportons en ce point l’origine des coordonnées. Les équations de la corde considérée deviendront alors

,K = mz,

y~nz, -

et celle do la surface sera

Pour avoir les 3 des points d’intersection de la corde et de la surface, il suffira de remplacer dans l’équalion de la surface x par mz et j par nz. L’équation résultante

devra alors, puisque le milieu de la corde est à l’origine, présenter d'une manière générale deux racines égales et de signes contraires. On divisera donc le i)remier membre de celte équation par le bjnôme z^ — ld qui correspond aux racines 4- et —h. On contiriuera la division jusqu’au reste du premier degré en z. On posera les conditions nécessaires pour la nullité de ce reste, et l’on obtiendra deux équations entre lesquelles il suffira d’éliminer l'indéterminée h pour avoir l’équation générale des surfaces diamétrales do la surface F(.r, r, 3)=o. L’indétermination de h

correspond précisément ù la variation nécessaire de roriginc (X, Y, ZI, choisie au milieu d’un corde quelconque.

Remarqtw. — Le calcul se. simplifiera lorsqu’il s’agira d’une surface du second degré. En effet, l'équation résultante en z étant alors nécessairement du second degré, il suffira d’y égaler à zéro le coefficient du terme du premier degré, pour exprimer la condition analytique imposée, c’està-dire pour obtenir l’équation des surfaces diamétrales.

Détermination des surfaces et des courbes dans l’espace.

35t). Le nombre de conditions ou le nombre de points nécessaires à la détermination d’une surface placée d’une manière quelconque par rapport aux axes, est indiqué par le plus petit des résultats qu’on trouve en comptant, d’une part le nombre des paramètres ou des constantes arbitraires qui entrent dans l’équation, do l’autre le nombre des coefficients qu’elle présente (23S).

Chaque point remarquable ou singulier doit alors compter pour tivis conditions. En effet, s il n’appartient pas à la surface, ses coordonnées seront déterminées isolément par trois équations de condition déduites do celle môme de la surface; et s’il lui appartient, ses coordonnées devront d’abord satisfaire à l’équation de la surface, et ensuite à deux autres relations formulant (en fonction des constantes arbitraires) sa propriété caractéristique. Par exemple, donner lé centre d’une surface, c’est l’astreindre à trois conditions.

Pour exprimer qu’un plan est tangent à une surface, on remarque que les équations du plan et de la surface deviennent simultanées pour les coordonnées du point de contact. On aura donc, pour ce point,

Aa:-i-B.y-i-Cs-l-D = o,

En se reportant à l’équation générale du plan tangent (346), on doit avoir en outra

Entre les quatre équations posées, on éliminera les coordonnées inconnues du point de contact, de sorte que le contact indiqué sera exprimé par une seule équation de condition entre les paramètres de l’équation de la surface et ceux do l’équation du plan. Dire qu'une surface est tangente à un plan, c’est donc l’astivindre à une seule condition.

Quant aux lignes dans l’espace, comme elles ont alors deux équations, le nombre des constantes arbitraires ou des coefficients distincts devient double du nombre de points nécessaires à la détermination de la courbe. Nous l’avons déjà fait remarquer (304).

Condition de similitude.

357. Tout ce que nous avons dit (Livre III, chapitre IX) touchant la similitude des figures planes, peut se transporter dans l’espace et s’appli-

GÉOMÉTRIE AKALYXH^ÜE. I

quer aux surfaces. On verra facilement, en particulier, que lorsque deux surfaces du second ordre sont semblables et semblablement placées, les coefficients des termes du second de^ré dans leurs équations sont proportionnels.

QUESTIONS PROPOSEES

I. Chercher l’équation du cylindre circonscrit à une sphère donnée, connaissant la direction des génératrices.

II. Trouver l’équation d’un cône dont on connaît le sommet et qui est circonscrit à une surface donnée.

III. Trouver l’équation d’un cône dont le sommet est à l’origine et qui est circonscrit à une sphère donnée.

IV. Chercher l’équation de la surface conoïde circonscrite à une sphère • donnée (la directrice rectiligne étant toujours l’axe des z, et le plan directeur le plan des xy).

V. Chercher l’équation de la surface conoïde dont la seconde directrice est une ellipse ayant son centre sur Taxe des x, et ses axes parallèles à l’axe des y et à l’axe des z (cono'idc de la voûte d’arôte en' tour ronde).

VI. Chercher l’équation de la surface cono’i'de engendrée par une droite qui s’appuie constamment sur une hélice et sur l’axe de cette hélice, en restant perpendiculaire à cet axe (hélicoïde gauche).

VU. Chercher l’équation de la surface engendrée par la révolution d'une hélice autour d’une parallèle à son axe. , f

VIII. Étude des sections obtenues en coupant un tore par un plan passant par son centre. Cas où la section se compose do deux cercles égaux.

IX. Trouver l’équation du plan tangent commun à deux sphères données ; en déduire l’équation des surfaces coniques . circonscrites à ces sphères.

<;l';OMKTRIK ANM.YTIQI K.