LIVRE SIXIÈME
ftTLÜF. DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ.
CIIAmUE l'IlEWlEK.
DlJ CKNIHE ET DES SURKACE.S 1)I.AMÉTK.ALES DANS LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ.
3o8. L’é(|ualion j;(Miéralc du second degré à trois variables est de la forme
( A.r’-f- b )■’ + 2 \):vy-^o.V.xz -H zVyz
( + 2G.r 4- 2ll;>''-t- 2kz + L ==o.
Pour simplifier la discussion de cette équation, nous commencerons par exposer ce qui se rapporte à la recherche du centre et des surfaces diamétrales dans les surfaces du second degré.
Du centre.
■359. Appliquons la méthode indiquée (352), c'est-à-dire transportons les axes coordonnés parallèlement à eux-mêmes en un point {p, q, r). En développant les calculs et en posant à part
(//) . p.H, = 2 H -I- 2 4- 2F/’4- 2 II,
( 2 K, = 2 Ce -f- 2E/^ 4- 2F<7 -f- 2K,
il>)
( E, = \.p^-+- Hq^-h (w-^4- 2.D/>(/4- 2E/>c4-2F qi ( 4- 2G/> -4- allÿ -4 2Kc4- L,
l’équation (1) deviendra
( À2;’4- Dr’4- Gs’ -4 2Dxy 4- sExz -4 2E\rs
( 4- 2G1 4- 2 Hi>'-4 2 K| c 4— L, = O.
On voit f|ue, dans la nouvelle équation (2), les coefficients des termes du second degré n’on t pas varié ; les coefficients des termes du premier degré sont les dérivées partielles correspondantes du premier membre île l’équation (i), sauf lasubsti-
«FOMÉTUIK A^Al.VTIQl'^:.
liilion Je p, q, r, à la place de x, z; le lerine indépendant est le premier membre de V équation ^i), sauf la même substitution.
Si le point [p, q, r) se ronfoiirl avec le centre de la siirlace, PII devra avoir (352)
et rétiualion (i) se trouvera ramenée à It} foiine
A.e*— l> I'* — |— t— ül-ia’r*— f— 2.L yz — t" o.
Remarque. — On peut iudiciuer une eAjiression plus simple J de L|. Multiplions resiioctivemenl les équations («) par p, q, r, après avoir divisé leurs deux membres par et retranchons leur somme de l’équation (b). Il viendra, puisque les relations (3) sonl-supposées satisfaites, -
(/>’} Iji = -K' Il ly “1- K /■ -i- l^.
360. Si la surface considérée admet en effet' un centre, le système des équations (3) qui est composé de trois équations du premier degré a trois inconnues p, q, r, donne pour ces inconnues des valeurs finies et déterminées. Si Tune de ces valeurs au moins est inlinie, le centre de la surface se transporte à l’infini. Si ces valeurs se présentent sous forme indéterminée, le centre est indéterminé ou il y a une infinité de centres.
Soient
les valeurs générales de p, q, r. Le dénominateur commun M est, d’après les équations (3) { /Ig. élém., 135),
(4) M = ABr. — AF' — BE= — i;1)“-1-aI)KF,
tandis que les numérateurs ont pour expressions
N = — r.BC -H GF" — EU F -t- DUC — DFK -t- EKB,
, N'= — AHC-l- AFK — EDk H-DGC — GFE-l-E'n. •
N"=— \BK-l- AFU — GDF -H D" K — DUE 4- GEB.
Remarquons que les équations (3) étant du premier degré représentent chacune un plan. D’une manière générale, si M est différent de zéro, ces trois plans se coupent en un seul point, centre de la surface. Si M = o, sans que la même condition soit remplie par les trois numérateurs N, N', N", ces plans n’ont aucun point commun, soit parce qu’ils
;^44 UÉÜMÉÏRIE ANALYTIQUE.
sonl parallèles, soit parce que l’un d’eux est parallèle à l’interseclion des deux autres; et le centre de la surface se transporte à l'infini. Si M = o en même temps que les trois numérateurs N, N', IS", les plans considérés ont une infinité de points communs, soit parce qu’ils se coupent suivant la même droite, soit parce qu’ils se confondent; et la surface admet une infinité de centres. 11 pourrait encore arriver dans ce cas que tous ces centres fussent transportés à l’infini ou qu’il n’y eût pas de centre (439, 3”).
Des surfaces diamétrales.
‘361. Appliquons à l’équation générale du second degré la méthode indiquée (355). Il faut d’abord transporter les axes au milieu (X, Y, Z) d’une des cordes parallèles à la direction indiquée. Les équations de cette corde deviendront ainsi
ju = mz, '
Y=nz.
L’éi] nation de la surface prendra d’ailleurs une forme analogue à celle de l’équation (a) du n° 359, p, q, r, étant remplacés par X, Yj Z, dans les valeurs (a) et [b) des coefficients G,, H,, K, et L,. On doit ensuite substituer mz et nz à la place de x et de y dans l’équation obtenue, pour avoir les z des points d’intersection de la corde considérée avec la surface. L’équation résultante sera
( A B/i’-f-G -f- aüw(/t-i- aE/n i.Vn)z^
-|-( aG, Ht -+-aH,« -f- 2K,)2 -l-Li = O.
Pour trouver l’équation générale des surfaces diamétrales des surfaces du second degré, il reste à exprimer que les deux racines de l’équation en z sont égales et de signes contraires, c’est-à-dire à égaler à zéro le coefficient du terme du premier degré en z. L’équation cherchée est donc
(5) aG ,Hi -h alIiH -l-aRi = O.
Cette équation s’obtiendra en ajoutant les dérivées partielles (359) du premier membre de l’équation ( i ), les deux premières dérivées étant respectivement multipliées par les coefficients angulaires m et n.
Par suite, si l'on représente par F(x, r, -s)= o l’équation de la surface proposée, on pourra mettre l’équation générale de ses surfaces diamétrales sous la forme
(5 bis) F'^. . m -4- F;. . n -+- F'^ = o.
GÉüMÉïRiE Analytique. 34^
L’équation (5) ou (5 bis) étant nécessairement du premier degré, toutes les surfaces diamétrales des surfaces du second degré sont des plans.
3C2. Remarquons (359) que les équations '
sont précisément celles qui déterminent le centre de la surface. Donc, dans les surfaces à centre, tous les plans diamétraux passent par le centre.
Réciproquement, tout plan passant par le centre est un plan diamétral; car on pourra toujours faire coïncider l’équation (5 bis) avec l’équation de ce plan, en donnant aux coefficients m et n des valeurs convenables.
363. Dans les surfaces dénuées de centre, les plans représentés par les équations (6) sont parallèles à une même droite (qu’ils peuvent contenir) ou parallèles entre eux (360) ; les deux cas rentrent l’un dans l'autre. Les plans diamétraux sont alors parallèles à cette droite ou parallèles entre eux.
En effet, supposons que les plans F'^=o et F^ = o se coupent suivant une droite à laquelle le plan F^ = o soit parallèle ; si le plan F'^. m 4- F^ . n -t- F' = o n’était pas parallèle à la droite
on trouverait pour x,j',z, un système de valeurs finies qui satisferaient aux équations (6); et la surface aurait un centre.
De même, si les plans F'^ = o, F^ = o, F ^ = o, sont parallèles, les coefficients des variables dans leurs équations seront proportionnels (315); désignons-les par a,b,c, a', b', c' , a", b", c". Les coefficients des variables dans l’équation générale F’ . m-f- F' . n -I- F' = o, seront alors :
ma + na' a", mb nb' b" , me 4- «c'4-c",
c’est-à-dire proportionnels aux précédents. Donc tous les plans diamétraux sont alors parallèles aux plans qui déterminent le centre de la surface (362), c’est-à-dire parallèles entre eux.
■ Des plans principaux.
364. On entend par plan principal un plan diamétral perpendiculaire à la direction des cordes qui lui sont conjuguées.
34t> GÉOMÉTRIE AN AI.YTIQI:E.
Ces cordes sont dites principales, et la section de la surlace par un plan principal est une section principale.
Supposons les axes rectangulaires. Les équations de la droite menée par l’origine parallèlement au système de cordes considéré sont
( x~niz,
( )-—nz.
L’équation générale des plans diamétraux qui est (3C1)
1’ ^ . Vil . n "4“ F O,
peut s’écrire en ordonnant
(5 ter)
(A ni — i— I) /i — f- L) X -yt— (I) ni -e* lie ~i— I* ) e -t- ( E m -I- F « -t- + (i/#( + llu -T- K = O.
Les conditions de perpendictdarité entre le plan diamétral et ses cordes conjuguées seront donc (32'r)
A//1 U« + E ni
Ces deux équations permettront de trouver les valeurs de m et de « (jui correspondent aux plans principaux, et, paf suite, ' de déterminer ces plans.
Pour les résoudre, il est plus simple d’introduire une nouvelle inconnue s, en représentant par cette indéterminée les rapports dont on vient d’indiquer l’égalité. On aura alors, entre les inconnues m, /i, 4, les trois équations '■
j -t- E = /«s ou (A — i)m-hO«-|-E = o, {c bis) ■ Dm -H Bn-t- F = ni ou D»i-i-(B — s)n-+-F = o, ^ Ew Fn -I- C = 5 ou E/« -t- Frt-h(C — 's)=o'.
Eliminons ni et n entre deux de ces équations et la troisième. L’équation résultante en s permettra de déterminer cette inconnue, et, par conséquent, m et n. On obtient ainsi la relation générale ~
, (\.,)(B-i)(C-i)-P(A-s)-EMn-s)
I — IP(C — i)-HTUF:F = o
ou * ^
en se rappelant que nous avons désigné par M le dénomina-
«JÉOMÉTUIE AWALYTIQUE. 347
leur commun des formules de résolution des trois équations du premier degré, qui déterminent les coordonnées du centre de la surface (3G0).
On aura en même tcni[»s
