ANGLES DES DROITES ET DES PLANS

Angles des droites entre elles.

60. Trouver l’angle de deux droites quelconques données par leurs projections {fig. 47)-

Lorsque deux droites ne sont pas dans un même plan, leur angle est celui de deux parallèles menées à ces droites par un point quelconque de l’espace. Nous pourrons donc toujours supposer que les droites proposées se coupent. Si elles sont parallèles, leur angle est nul.

Si les droites considérées étaient parallèles à l’un des plans de projection, leur angle serait égal à celui de leurs projections sur ce plan (*). Cette remarque conduirait à rendre le

( * ) Nous remarquerons à ce sujet que, dans le cas particjlier oü deux droites sont perpendiculaires entre elleSf si l’une est parallèle au plan de projection considéréy l’angle de* projections des deux droites sur ce plan sera toujours droit, c’est-à dire égal à Vanglc qu’elles forment dans l'espace, ^

Soient {fig. /|0) la droite CD parallèle au plan horizontal H, et la droite AI»

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GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 4-f9

plan des deux droites parallèle à l’un des plans de projection, et l’on y parviendrait par deux changements de plans ou deux rotations successives (29, 3fi).Mais il est beaucoup plus simple ' de recourir à un rabattement.

Soient les deux droites [ab, a'b') et [bc, b'c') qui se coupent au point (b, b'); elles déterminent un plan P, dont on obtient la trace horizontale en joignant les traces horizontales a et c des deux droites. Ces droites forment dans l’espace un triangle dont la base est ac et dont l’angle au sommet est l’angle cherché. Pour avoir cet angle, il suffit donc de rabattre le triangle autour de ll*^, jusqu’à ce qu’il vienne se confondre avec le plan horizontal. Comme la base ac reste fixe, on n’a qu’à obtenir le rabattement du point {b, //). On abaissera bd perpendiculaire sur ac; à partir du point (3 oit bb' rencontre LT, on portera sur LT une longueur |3ô = bd, et l’on mènera la droite b' 8. Si l’on prolonge alors db jusqu’en à», de manière à avoir db„ = b'8, le point b„ sera le rabattement du point B de l’espace (58). L’angle demandé sera donc l’angle ab,c.

L’angle aè»c est évidemment plus petit que l’angle abc : l'angle de deux droites est donc, en général, plus petit que l’angle de leurs projections.

Si l’on demandait de trouver les projections de la bissectrice de l'angle des deux droites proposées, il suffirait de remarquer qu’en menant la bissectrfee de l’angle rabattu ab,c, elle viendra couper la base ac ou II'* en un point m qui, lorsqu’on relèvera le triangle ab,c, sera toujours la trace horizontale de cette bissectrice» D’ailleurs ses projections passent nécessairement par celles du sommet de l’angle. On aura donc en bin sa projection horizontale, et en b'm' sa projection verticale.

61. Nous chercherons encore l’angle de deux droites dans le cas particulier suivant.

Trouver Tangie de. deux droites. Tune étant parallèle au plan horizontal, l’autre parallèle au plan vertical {fig. 48).

Soient la droite {ab, céb') parallèle au plan vertical et la droite (èc, b'c') parallèle au plan horizontal. La trace horizontale du plan P des deux droites passera par la trace horizontale a de la première et sera parallèle à la projection horizontale do la seconde (17). On aura donc H"* en menant par a une

qui lui est perpendiculaire tout en occupant une position quelconque par rap> port au plan H. Soient Q le pian qui projette horizontalement CD et R le plan qui projette horizontalement AB. Le plan R, qui contient AR et qui est perpeniliculairo au plan horizontal, sera perpendiculaire à rhorizontale CD, et, par suite, à cd. Donc la projection ab sera elle-mémc perpendiculaire & la projoc> tion cd.

CltOMÉTRIE DESCniPTlNE.

parallèle à bc. Rabattons le plan des deux drohes sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de Le point B de l'espace viendra se placer en b,, sur le prolongement de la perpendiculaire bd abaissée du point b sur II’’, la distance db, étant égale à la longueur è'd obtenue en prenant j3d = bd. La droite [ab, a' b') se trouvera ainsi rabattue en ab,. Quant à la droite {bc, b'c'), comme elle demeure constamment parallèle à H‘‘, on obtiendra son rabattement en menant parallèle à bc ou à H**; de sorte que l’angle demandé sera l’angle. aèoC..

62. Trouver les angles d’une droite avec les plans de projection (Jig. 4^).

Nous savons {Géom., 186) que l’angle d’une droite avec un plan est l’angle que cette droite forme avec sa projection sur ce plan.

Soit la droite {ab, a'b') dont les traces sont a et b' . La droite de l’espace forme avec les côtés 6' ô et aô un triangle rectangle dans lequel l'angle adjacent à ab est l’angle de la droite avec le plan horizontal. Si l’on rabat* ce triangle sur le plan vertical en b'ba, , en le faisant tourner autour de l’axe b'b, l’angle cherché sera l’angle b'a,b = x.

De même, la droite de l’espace forme avec les côtés aa’ et a'b' un triangle rectangle, dans lequel l’angle adjacent à b'a' est l’angle de la droite avec le plan vertical. Si l’on rabat ce triangle sur le plan horizontal en aa'h',, en le faisant tourner autour de l’axe aa', l’angle cherché sera l’angle ab\a'= p.

11 est utile de remarquer que l’angle d’une droite avec sa projection sur un plan étant plus petit que tous ceux qu’elle forme avec les autres droites du plan, l’angle a, b'b, par exemple, de la droite avec b'b, est plus grand que l’angle (3 de la droite avec sa projection verticale. Mais l’angle «, ô'ô est le complément de l’angle a. Donc, en général, « e/ (3 étant les angles d’une droite avec les deux plans de projection, on a

Pour qu’on ait « + p = 90", il faut que bb' devienne la projection verticale de la droite qui est alors nécessairement située dans un plan perpendiculaire à LT (13).

63. Trouver ü angle d'une droite donnée par ses projections et d’un plan donné par ses traces.

L’angle d’une droite avec un plan étant l'angle de la droite avec sa projection sur ce plan, on pourrait ramener la question au cas précédent en prenant le plan proposé pour l’un des plans de projectiop. Mais il est plus simple de remarquer que, si l’on abaisse d’un point quelconque de la droite donnée une

CÉOMÉTHIE DESCKIfTIVE.

perpendiculaire sur le plan donné, l’angle de celte perpendiculaire avec la droite sera le complément de l’angle cherché. On n’a plus alors, pour résoudre le problème proposé, qu’à déterminer l’angle de deux droites dont les projections sont connues (60), et à en prendre le complément.

64. Mener par un point donné une droite qui fasse des angles donnés avec les deux plans de projection {fig. 49)- Soient (m, m') le point donné, a l’angle que doit faire la droite cherchée avec le plan horizontal, (3 l’angle qu’elle doit former avec le plan vertical.

Prenons dans le plan vertical un point quelconque {b', b), et formons le triangle rectangle bb'a, dans lequel l’angle b' a, b est égal à a. La droite dont l’hypoténuse b'a, représente le rabattement sur le plan vertical, fera nécessairement l’angle * avec le plan horizontal (62). Si l’on ramène celte droite dans sa véritable position quelle qu’elle soit, elle continuera de passer par le point b' et sa trace horizontale a se trouvera sur" la circonférence décrite du point b comme centre avec ba, pour rayon; de sorte qu’elle n’est pas encore déterminée de position. Mais Si on astreint de plus celte même droite, dont la longueur est b'a,, à faire l’angle ^ avec le plan vertical, elle sera l’hypoténuse d’un triangle rectangle dans lequel l’un des angles aigus sera ^ (62). Décrivons donc sur b'a, comme diamètre une demi-circonférence, et menons Ja droite é'rf telle que l’angle a, b'd soit égal à (3 : b'd représentera la longueur de la projection verticale de la droite de l’espace (62). On obtiendra donc le point de rencontre de celle projection verticale avec LT, en décrivant du point b' comme centre avec pour rayon, un arc de cercle qui coupera généralement LT en deux points a! et c'. En menant alors par a' et c' des perpendiculaires à L’F, ces perpendiculaires viendront rencontrer la circonférence ba, en des points qui seront les traces horizontales des droites passant au point {b', b), et formant avec les deux jilans de projection les angles marqués oc et

Comme il y aura, en général, quatre points d’intersection deux à deux symétriques par rapport à LT, savoir ael p, c et r, il y aura aussi en général quatre droites répondant à la question. Les projections horizontales ba, bp, bc, br, de ces quatre droites seront différentes; mais leurs projections verticales b'a' et b'p', b'c' et b'r', se confondront deux à deux.

11 ne restera plus qu’à mener par le point donné (m, m') des parallèles aux droites ainsi construites.

Pour que le problème admette quatre solutions, il faut qu'on ait (62) s»

45a GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Si l'on a x + ^ — go’’, les. quatre solutions se réduisent à deux, parce que b'b devenant la projection verticale de la droite (62), on a b'd=b'b\ l’arc de cercle de rayon b'd est alors tangent à LT au point b, et les quatre droites n’en font plus que deux, situées dans un plan perpendiculaire à LT et symétriquement disposées de part et d’autre du plan vertical.

Enfin, si l’on a a-i-(3>9o", l’angle (3 = rt|6'rf surpassera ' l’angle qui est le complément de x. Il en résulte immédiatement b'dc^b'b. Donc l’arc de cercle de rayon b'd ne rencontrera plus LT, et le problème sera impossible.

Angles des plans entre eux.

. 65. Trouver l’angle de deux plans quelconques donnés patleurs traces [Jig. 5o).

Nous savons [Géom., 190) que si d’un point pris dans l'intérieur d’un angle dièdre on abaisse des perpendiculaires sur ses faces, l’angle de ces droites est le supplément de l’angle dièdre considéré. Plus généralement, deux plans qui se coupent, comme deux droites qui se coupent, déterminent deux angles supplémentaires; il en résulte que si l’on mène d’un même point de l’espace deux droites respectivement perpendiculaires aux plans proposés, les angles formés par ces droites mesureront les angles formés par les plans. La question sera ainsi ramenée à trouver l’angle de deux droites (60). On peut aussi opérer directement comme il suit.

Soient les deux plans donnés P et Q, et ab la projection horizontale de leur intersection. Si l’on mène par un point quelconque ‘de cette intersection un plan R qui lui soit perpendiculaire, il coupera les deux plans P et Q suivant deux droites qui comprendront entre elles l’angle cherché ( Géom., 177). La trace horizontale du plan R sera perpendiculaire à la projection horizontale ab de l’intersection (23). Donc, si par le point d pris sur ab on lui mène la perpendiculaire ef, on pourra regarder ef comme représentant H .

Les droites qui forment l’angle demandé, ont alors pour traces horizontales les points e et/, et elles constituent dans l’espace un triangle qui a ef pour hase. Si l’on pouvait rabattre ce triangle sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de ef, son angle au sommet serait l’angle cherché. Remarquons que le sommet du triangle appartenant à l’intersection des plans P et Q, se projette horizontalement sur ab. ab et ef étant perpendiculaires, si l’on joint dans l’espace leur point de rencontre d au soininet du triangle, on aurrt une droite perpendiculaire sur ef ou la hauteur même du triangle; pour en

opérer le rabatleineiU, il suffit de déterminer celle hauteur qui, contenue dans un plan R perpendiculaire à l’intersection des plans donnés, lui est aussi perpendiculaire.

Par suite, nous rabattrons î’inlersection des plans P et* Q en b' a,, en prenant pour axe la verticale b'b. Nous rabattrons de même le point dend,. La liauleur du triangle sera donc, en rabattement sur le plan vertical, la perpendiculaire </,/«„ abaissée du point d„ sur b' a,. On prendra alors sur une longueur = et l’angle des deux plans sera mesuré

par l’angle emf. .

On peut remarquer que le point m doit toujours tomber entre les points b et a, parce qu’on a nécessairement

dm ou d^m^ <ida ou d^a,.

L’angle emf est donc toujours plus grand que l’angle eaf des traces H** et 11'*. En général, l’angle de deux plans est plus -grand que les angles formés par leurs traces respectives.

Si ion demande les traces du plan qui divise en deux parties égales l’angle des plans proposés, c’est-à-dire les traces de leur plan bissecteur, il suffit de se rappeler que ce plan S doit renfermer la bissectrice de l’angle rectiligne du dièdre considéré (Com/j/.rfe Géoffi.,101). On mènera donc la bissectrice ni/i de l’angle emf rabattu sur le plan horizontal ; le point n où celle bissectrice qui est dans le plan R coupe H", est sa trace horizontale. Celle trace horizontale appartient à 11*^. D’ailleurs, le plan S contenant l’intersection des plans P et Q, H® doit concourir avec H** et H**, V® avec V'* et V**. En joignant le point a au point n, on aura par conséquent II®; et enjoignant ■'le point de rencontre de 11® et de LT au point b', on aura V®.

66. Proposons-nous encore de trouver l’angle de deux plans , lorsque les traces horizontales de ces plans sont parallèles [fi g. 5o bis). '

On pourrait suivre la marche indiquée dans le cas général (65), marche qui se simplifie dans le cas particulier qu’on vient d’énoncer. Mais on peut aussi avoir recours à un changement de plan ou à un mouvement de rotation.

Les deux plans P et Q ayant leurs traces horizontales parallèles, si l’on prend , par exemple, un nouveau plan vertical de projection déterminé par la ligne de terre L,T, , perpendiculaire à et à II'*, les deux plans proposés deviendront ensemble perpendiculaires au plan vertical. Leur intersection sera dès lors perpendiculaire au plan vertical et aux traces verticales des deux plans, de sorte que l'angle cherché sera

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45ii GÉOMÉTBIE DESCRIPTIVE.

précisément l’angle lormé par ces nouvelles traces verticales. On élèvera donc au point i de rencontre de LT et de L,T, deux perpendiculaires à ces droites; la première rencontrant V** et V®' aux points l' et i', on reportera les longueurs il' et ii' sur le seconde perpendiculaire en il\ et en ii'^. En joignant le point où H*’ coupe L,Ti avec le point , on aura ; on trouvera de même VÇ; et l’angle de avec mesurera l’angle des plans P et Q.

07. Trouver les angles d’un plan donné par ses traces avec les plans de projection (Jig- 5i).

Par un mouvement de rotation ou un changement aie plan, on pourrait rendre le plan proposé perpendiculaire au plan vertical , par exemple. Son intersection avec le plan horizontal, c’est-à-dire sa trace horizontale, serait alors perpendiculaire à la fois à sa trace verticale et à la ligne de terre. L’angle du plan considéré avec le plan horizontal serait donc mesuré par l’angle de sa trace verticale avec la ligne de terre. On trouverait de la même manière l’angle qu’il forme avec le plan vertical.

On peut aussi faire usage des lignes de plus grande pente du plan (20) par rapport au plan horizontal et au plan vertical.

Soit le plan P. Prenons un point À quelconque sur LT. Si nous abaissons de ce point la perpendiculaire A a sur H'*, nous pourrons regarder Aa comme la projection horizontale d’une ligne de plus grande pente du plan P par rapport au plan horizontal. Cette ligne a le point B pour trace verticale ; et l’angle qu’elle forme avec le plan horizontal ou avec sa projection sur ce plan , mesure précisément l’angle du plan P avec le plan horizontal (20). La question étant ramenée à trouver l’angle d’une droite avec le plan horizontal (62), nous décrirons du point A comme centre avec A a pour rayon un arc de cercle qui coupera LT au point a,, et en joignant le point B au point a„ nous aurons en Ba,A l’angle a formé par le plan P avec le plan horizontal.

De même, si nous abaissons du point A la perpendiculaire Ab' sur V**, nous pourrons regarder Ab' comme la projection verticale d’une ligne de plus grande pente du plan P par rapport au plan vertical. Cette ligne a le point C pour trace horizontale ; et l’angle qu’elle forme avec le plan vertical ou avec sa projection sur ce plan, mesure précisément l’angle du plan P avec le plan vertical. Nous décrirons donc du point A comme centre avec A b' pour rayon un arc de cercle qui coupera LT au point 6',, et en joignant le point C

au point b',, nous aurons en C6', l’angle (3 formé par le plan P avec le plan vertical.

Il est essentiel de remarquer que le plan BAn qui projette horizontalement la ligne de plus grande pente par rapport au plan horizontal, et le plan C\b' qui jirojette verticalement la ligne de plus grande pente par rapport au plan vertical, sont tous deux perpendiculaires au plan P {(iéoni., 183, 182) ; il en résulte que leur intersection, qui part du point A, l’est aussi. Cette intersection AF^ est donc, dans l’espace, perpendiculaire aux deux lignes de plus grande pente considérées. Lorsqu’on rabattra le |)lan B V a sur le plan vertical, le rabattement de AL sera la perpendiculaire A/, à Bn». Lorsqu’on rabattra, au contraire, le plan C.V6' sur le plan horizontal, le rabattement de AL sera la perpendiculaire A/, à Cb',. Par conséquent, on aura toujours

68. Mener par un point donné un plan qui fasse des angles donnés avec les deux plans de projection (Jig. 5a).

Soient le point donné (ni, m'), a. l’angle que le plan cherché doit former avec le plan horizontal, p l’angle qu’il doit faire avec le plan vertical.

Prenons un point A quelconque sur LT. Si de ce point on abaisse une perpendiculaire sur un plan formant les angles demandés aved les plans de projection, les angles de cette perpendiculaire avec les plans de projection seront les compléments de a et de |3. Nous serons ainsi ramené à un problème déjà résolu (64). Il suffira ensuite de conduire par le point (m, m') des plans perpendiculaires aux droites qu’on aura construites d’après la condition imposée.

On peut aussi raisonner comme il suit. Formons en A le triangle rectangle BAog dans lequel l'angle Ba,A est égal à a. Décrivons du point A comme centre avec A a, pour rayon une circonférence. Tout plan dont la trace verticale passera au point B et dont la trace horizontale sera tangente à la circonférence Aflo, fera l’angle a avec le plan horizontal (67). Abaissons A/, perpendiculaire sur Ba,. Al, représentera la distance AL du point A à l’un des plans considérés (ül)', de sorte que si l’on décrit du point A comme centre avec Al, pour rayon une seconde circonférence, la ligne de plus grande pente de ce plan par rapport au plan vertical, qüi est menée par le pied L de la perpendiculaire AL de l’espace, se rabattra sur le plan horizontal suivant une tangente à cette circonférence. Cette tangente fera l’angle (3 avec LT, si le plan considéré est l’un de ceux qui font à la fois l’angle a et l'angle (3 avec les

456 GÉOMÉTBIE DESCRIPTIVE.

deux plans de projection. Nous mènerons donc le rayon A l, qui forme l’angle (3 avec la verticale BA prolongée. La tangente correspondante fc'.C, qui coupe BA au point G , fera avec Lï l’angle A 6',C = p. En menant par le point G (trace horizontale de la ligne de plus grande pente du plan obtenu par rapport au plan vertical) une tangente à la première circonférence Aoo, nous aurons la trace horizontale de ce plan P ; et enjoignant le point ou H coupe LT au point B, nous aurons V .

Gomme il part, en général, deux tangentes du point G, et qu’on peut considérer, au lieu de ce point, son symétrique par rapport à LT, il y aura aussi en général quatre solutions (64). Nous n’en avons indiqué que deux sur la figure. En menant par le point (m, m') des plans parallèles aux plans trouvés, le problème sera complètement résolu.

Les droites perpendiculaires aux plans qui répondent à la question, feront avec les plans de projection les angles 90" — a et 90® — p. En ne tenant compte que des directions, il existera quatre de ces droites si l’on a (64)

c’est-à-dire

11 y en aura deux seulement, situées dans un plan perpendiculaire à LT et symétriquement disposées par rapport au plan vertical , si l'on a

c’est-à-dire

Il n’y en aura aucune , si l’on a

c’est-a-dire

11 y aura donc quatre plans répondant à la question, deux à deux placés symétriquement par rapport au plan vertical , si l'on a

lisse réduiront à deux parallèles à la ligne de terre, si l’on a 3t -1- j3 = 90®.

Le problème proposé sera impossible , si l'on a '

CÉOMÉTRIË DESCRIPTIVE. ' 4^7

Ou aurait pu indiquer à priori ces caractères , en remarquant qu’un plan quelconque forme avec les plans de projection un angle trièdre qui contient un angle dièdre droit. La somme des angles dièdres d’un angle trièdre étant toujours comprise (Géom., 196) entre deux et six angles dièdres droits, la somme des angles dièdres formés par le plan considéré avec les deux plans de projection doit surpasser un angle dièdre droit.

Le choix du point B n’influe évidemment en rien sur les résultats obtenus ; en le faisant varier, on obtient des figures semblables entre elles. On peut faire une remarque analogue relativement au problème du n° 64.