Si ion veut maiyuer sur la droite (ab, a' b') un point

CÉOMÉTIUE DESCRIPTIVE. 44^

dont la distance au point (a, a') soit donnée, il suffit de prendre 4») sur rt', 6', (qu’on peut aussi regarder comme le rabattement de la droite de l’espace sur le plan horizontal), la longueur a', m', égale à la distance donnée. On obtient ensuite immédiatement les projections m et m' du point M de l’espace. Si la droite AB peut être supposée prolongée au delà du point A, on aura un second point répondant à la question, en portant à gauche de une distance égale à à, ni\.

Lorsqu’on connaît les projections horizontales de deux points ainsi que leur distance dans l'espace, et la projection verticale de l’un d’eux, il est facile d’obtenir la projection verticale du second point. Soient en cl'fel [Jig. 40 (<*> «0 des points donnés, m la projection horizonlale du point dont il faut déterminer la projection verticale, et d,nî, la distance des deux points considérés. 11 faut trouver nwi, ou, ce qui revient au même, la différence m\e des hauteurs des deux points au-dessus du plan horizontal. La question est donc ramenée à construire le triangle rectangle a, m', e dans lequel » on connaît l’hypoténuse a', m', et l’un des cotés de l’angle droit d,e—ain. 11 y aura en général deux points répondant aux données du problème (Géom., Ik).

56. Pour trouver la longueur d’une droite entre ses traces,. on suivra la marche indiquée plus haut (5V), c’est-à-dire qu’on effectuera un" changement de plan, un mouvement de rotation ou un rabattement.

Si l’on fait tourner la droite donnée 42) autour de l’axe bb' qui correspond à sa trace verticale, sa trace horizontale a ^vient^en a,, et la longueur de la droite, alors rabattue sur le plan vertical, est b' a,. Si l’on fait tourner la droite proposée autour de l’axe ad qui correspond à sa trace horizontale, sa trace verticale b' vient en b\, et la longueur de la droite, alors , rabattue sur le plan horizontal, est ab\. Si l’on a bien opéré, on doit avoir b' a, = ab', .

57. Trouver la distance d’un point donné par ses projections à un plan donné par ses traces {Jig. 43).

Soient le point (m, m') et le plan P. Abaissons du point {m, m') une perpendiculaire sur le plan P. Les projections de cette perpendiculaire seront perpendiculaires aux traces du .rplan. La distance cherchée est la longueur comprise sur cette perpendiculaire entre son point de départ (m, m') et le point où elle perce le plan P. Nous déterminerons ce point (n, n') en cherchant l’intersection du plan P et du plan Q qui projette -horizontalement la perpendiculaire considérée (49). Il ne restera plus alors qu’à chercher la longueur de la droite finie

(mn, m'n') (54). Nous y arriverons immédiatement à l’aide d’un mouvement de rotation autour de l’axe vertical projeté en m, et la distance demandée sera représentée sur l’épure par la droite m'n',. *

58. Un point et une droite étant donnés par leurs projections, trouver la distance du point à la droite {fig. 44)-

Soient le point (m, m') et la droite (ab, a' b').

On pourrait mener par le point donné un plan perpendiculaire à la droite donnée, et chercher le point où la droite perce le plan; en joignant ce point au point donné, on aurait évidemment la distance demandée. Mais nous préférons faire usage de la méthode des rabattements, dont l’emploi est d’ailleurs justifié par la nature de la question, afin de com- • pléter ce que nous avons déjà dit à ce sujet (37).

Faisons passer un plan P par le point et la droite donnés, et rabattons-le sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de sa trace horizontale. Si nous joignons le point (m, m') au point (6, b'), nous aurons une droite du plan P, dont la trace horizontale sera d. En joignant le point d au point a trace horizontale de la droite (ab, a' b’), nous déterminerons donc h’’. Pour opérer le rabattement, il est inutile de construire V**.

‘ Remarquons en effet que si l’on abaisse sur H** la perpendiculaire b^, la droite b'Ç> de l’espace sera perpendiculaire à H**; de sorte que, dans le mouvement de rotation autour de H*’, le point b' restant sur celte perpendiculaire, viendra se placer sur Je prolongement de à (3. 11 suffit par suite, pour obtenir son rabattement, de construire la distance* à' Pour cela,*nous^ reporterons par un arc de cercle la distance hb' en bb\ sur une perpendiculaire élevée à 6(3 par le point 6; la longueur p6', sera évidemment la distance cherchée. Un nouvel arc de cercle décrit du point (3 comme centre avec <^b\ pour rayon jusqu’à la rencontre du prolongement de 6(3, nous donnera le rabattement 6, du point 6' de la droite (ab, a' b' ). D’ailleurs sa trace horizontale a demeurant fixe, on aura en ab, le rabattement de la droit|^|We-même. En unissant le point d au point b,, on obliepdra^elui de la droite (bd, b'd'). Le rabattement «du point fï», m') fait partie de la droite db,, et U appartient aussi, d’après les explications qui précèdent, au prolongement de la perpendiculaire mp abaissée du point sur h’’: ce rabattement sera donc en m,, à la rencontre des deux droites. Il ne restera plus, pour résoudre la question proposée (le rabattement opéré n’ayant en rien modifié la disposition relative des points considérés), qu’à abaisser du" point m, la perpendiculaire m,n, sur ab,. Lorsqu’on relèvera

géométhie descriptive.

le plan P, le point N, dont le rabattement est restera sur la perpendiculaire abaissée dans le plan horizontal du point «0 sur H ; sa projection horizontale devra donc se trouver sur cette même perpendiculaire; comme cette proiection appartient nécessairement à ab, elle sera en n à la rencontre des deux droites; connaissant n, on aura immédiatement n'. La pius courte distance MN du point M à la droite AB aura donc pour projections les droites mn et m'n'.

Si l’on veut en outre marquer sur la droite [ab, a! b') deux points qui soient à une distance donnée l du point [ni, m'), il suftira de décrire du point nio comme centre, avec la longueur / pour rayon, un arc de cercle qui coupera généralement la droite ab, en deux points e, et f,. On trouvera ensuite facilement les projections (e, e') et (/, /') de ces points dans leur véritable position. 11 est clair que cette seconde partie du problème pourra n’admettre aucune solution ou en admettre une seule.

59. Trouver la plus courte distance de deux droites non situées dans un même plan {Jig. 45 et 45 bis).

"Nous avons vu [Géom., 185) que lorsque deux droites n’étaient pas situées dans un même plan, on pouvait toujours leur mener une perpendiculaire commune qui représentait leur plus courte distance.

Rappelons succinctement que pour trouver la plus courte distance des deux droites AB et CD non situées dans un même plan ijig. 45 bis), H faut mener par la droite CD un plan R parallèle à la droite AB (on déterminera ce plan, en menant par un point quelconque de CD la droite MN parallèle à AB). On conduit ensuite par les droites AB et CD deux plans P et Q respectivement perpendiculaires au plan R; l’intersection des plans P et Q est la plus courte distance cherchée.

Ces constructions que la géométrie élémentaire ne fait qu’indiquer, doivent donc être exécutées à l’aide des procédés de la géométrie descriptive.

Soient {fig. 45) («è, a'b') et {cd, c'd') les deux droites données. Pour mener par la seconde un plan R parallèle à la première, par le point {g, g') appartenant à [cd, c'd'), nous ferons passer la parallèle (mn, m'n') à [ab, a'b'). Les traces horizontales c et » détermineront H*', les traces verticales d' et m' détermineront V®. Si l’on a bien opéré. H** et V"* viendront se croiser en un même point p de Lï.

Prenons sur la droite [ab, a'b') un point [e, e'), et abaissons de ce point la perpendiculaire [pf, p’f) sur le plan R; pf devra être perpendiculaire sur H”, et p'f sur V”. Le plan P

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déterminé par les droites (ab, a'b') et [pf, p'f) sera nécessairement perpendiculaire sur le plan R [Géom., 182). H*’ passera par les deux traces horizontales a et p, par les deux traces verticales b' et /'.

De même, prçnons sur la droite [cd, c'd') un point (A, h'), et abaissons de ce point la perpendiculaire {il, i'I') sur le plan R. Le plan Q déterminé par les droites [cd, c'd') et [il, i'I') sera perpendiculaire sur le plan R. H** passera par les deux traces horizontales c et l, V** par les deux traces verticales d' et i'. Si l’on a bien opéré, H'* et V**, comme H*’ et V**, doivent se croiser en un même point de LT.

Construisons l'intersection (ou, o'u') des deux plans P et Q. La partie (rs, ds') interceptée sur cette intersection par les deux droites [ab, a'b'), {cd, c’d'), représente la plus courte distance cherchée. Il est inutile de dire que, si l’on a bien opéré, les droites rr' et ss' sont perpendiculaires à LT.

Ayant les projections de la plus courte distance, il est facile d’obtenir sa longueur. Il suffit (5A) de mener par s' une parallèle s't' à LT, puis de prendre sur cette parallèle, à partir de son point de rencontre t' avec rr', une longueur /'i', égîile à la projection horizontale w; la droite r's, est la distance demandée. .