Réduction d’un angle à V horizon {fig

Dans le levé des plans, lorsque le terrain qu’on représente est accidenté, il faut en exécuter la projection sur un plan horizontal. Trouver dans ce cas la projection horizontale de l’angle de deux droites, c’est réduire cet angle à l’horizon.

Pour opérer cette réduction, on peut mesurer directement l’angle y des deux droites SB et SC, et les angles a et (3 qu’elles forment respectivement avec la verticale. Prenons le plan de l’angle a pour plan vertical : soient alors la ligne de terre LT et la verticale SA qui passe par le sommet S de l’angle donné. L’un des côtés de l’angle y, SB par exemple, sera dans le plan vertical, et l’on aura

VSB = a.

Menons dans ce même plan lu droite Sc dont l’angle avec S.\ est égal à [3 : elle reiuéscnlera le labattement sur le plan vertical du second côté SC de l’angle donné. Si l'on fait lour-

CÉUMéTRIE DESCRIPTIVE.

ner Sr autour de SA pour le ramener dans sa véritable position, sa trace horizontale se trouvera sur l’arc de cercle décrit du point A comme centre avec Ac pour rayon. Il faut trouver un second lieu de cette trace hoi izoniale. Pour cela, menons la droite Sc, qui forme l’angle y avec la droite SB, et prenons Sc, = Sc. Quand on fera tourner la droite Sc, autour de SB, pour qu’elle vienne rejoindre le côté SC dans sa véritable position, la distance Bc, restera invariable, puisque le triangle BSc, est déterminé par un angle et les deux côtés qui le comprennent. Par suite, si du point B comme centre avec Bc, pour rayon on décrit un second arc de cercle, il viendra rencontrer le premier en un point G qui sera la trace horizontale du côté SC. L’angle BSC, réduit à l’horizon, sera donc l’angle CAB.

71. Représentation d’un tétraèdre régulier (Jig. 54 et 54 bis).

Nous savons déjà construire géométriquement un tétraèdre régulier [Conipl. de Géom., 12S); il s’agit de le représentera l’aide des procédés de la Géométrie descriptive.

Pour plus de simplicité, nous supposerons que sa base abc [Jig. 54) repose sur le plan horizontal. Le tétraèdre étant régulier, la projection horizontale de son sommet S se confondra avec le centre s du cercle circonscrit au triangle abc (Géom., 162). Les projections horizontales de scs arêtes latérales seront donc sa, sb, sc. Pour trouver s', il faut déterminer la hauteur du sommet S au-dessus du plan horizontal ou la hauteur même du tétraèdre. Cette hauteur est le côté de l’angle droit d’un triangle rectangle, dans lequel l’autre côté est le rayon du Cercle circonscrit à la base abc et qui a pour hypoténuse l’arête mênae du tétraèdre. Nous élèverons donc par le point s une perpendiculaire au rayon sc, et. nous déterminerons le point i, sur cette perpendiculaire par un arc de cercle décrit du point c comme centre avec cb pour rayon ; représentera le rabattement de la hauteur. Sur le prolongement de la perpendiculaire j a abaissée du points sur LT, on prendra donc (ts' = ss,, et l’on aura en s' la projection verticale du sommet S. La base du tétraèdre se projette verticalement sur LT, et les projections verticales de ses arêtes latérales sont s'a', s' b', s'c' .

Si l’on suppose le tétraèdre régulier fendu suivant ses arêtes latérales, de manière qu’on puisse rabattre ses faces latérales sur le plan de la base abc, c’est-à-dire de manière qu’on puisse opérer le développement de toute sa surface sur le plan de cette base, on obtiendra la Jig. 54 bis. Le triangle déterminé parles trois rabattements du sommet S est un triangle équilatéral qu’on peut construire en menant par chaque som-

GÉOMÉXaiE DESCRIPTIVE. 4^9

met de la base abc une parallèle au côté opposé : ce triangle a donc un côté double de celui de la base et, comme cela doit être, une surface quadruple.

Si l’on abaisse sd perpendiculaire sur ac {fig. 54) et si l’on joint le sommet S au point d, l’angle Sds mesure l’inclinaison de deux faces adjacentes du tétraèdre. Pour avoir cet angle, nous prendrons sur LT^la longueur <rd — sd, et nous joindrons s'ô. Le triangle s'ba représentera le triangle Sds de l’espace. L’angle «'âo-sera donc l’angle cherché.

72. Représentation d’un octaèdre régulier [Jig. 55 et 55 bis).

Nous savons déjà construire géométriquement un octaèdre régulier (é7o/n/?L de Géom., 125); il nous sera donc facile d’en déterminer les projections.

Nous avons vu que trois droites égales, perpendiculaires entre elles et se coupant en leur milieu, avaient pour extrémités les six sommets d’un octaèdre régulier. L’arête de l’octaèdre étant a, ces droites sont égales à a fÿ..

Pour plus de simplicité, nous supposerons que deux de ces droites ac et bd sont dans le plan horizontal; elles y détermineront le carré abcd qui partage l’octaèdre en deux pyramides égales. Les deux derniers sommets S et S, de l’octaèdre

se projetteront au centre de ce carré. Leur distance au plan horizontal étant — nous abaisserons la perpendiculaire sa

ou s, a sur LT, et nous porterons sur cette perpendiculaire à partir du point a, au-dessus et au-dessous de LT, des longueurs

as' et <fs'^ égales à — c’est-à-dire à as. Les points «' et

seront les projections verticales des sommets S et St, Les

projections horizontales des arêtes latérales supérieures de l’octaèdre seront sa, sb, sc, sd; elles recouvrent les projec-. tions horizontales des arêtes latérales inférieures qui, dans, l’hypothèse Indiquée, ne sont pas visibles. Le carré abcd se projetant sur LT, on obtiendra les projections verticales des arêtes latérales de l’octaèdre en joignant les points s' et s\ aux points a', b', c', d'. On doit tracer en lignes ponctuées les projections des arêtes invisibles.

Quanbau développement de l’octaèdre, supposons qu’on le fende suivant les quatre arêtes latérales qui partent du sommet S et suivant l’arête S, a, pour en rabattre la surface entière sur le plan de la face ècS,. On obtiendra la figure 55 bis. Les trois triangles qui tiennent alors à la face 6cS,, se rabattront en bcs, en bs,a et en cs,d. Le triangle lié à la face 6S,a se rabattra en bsa. Les deux triangles liés à la face c%,d so

46o GÉOMÉTRIE DESCRIVTIVE.

rabattront en c«</ et en ds,a. Enfin, le triangle lié à la Tace se rabattra en ds^a.

Si l’on abaisse sg perpendiculaire sur ad, et si l’on joint le point g' aux sommets S et Si, l’angle Sg^S, mesurera l’inclinaison de deux faces adjacentes de l’octaèdre. Pour avoir cet angle, nous prendrons sur LT la longueur 07 = 5g, et nous joindrons s'y et s', y. Le triangle s'ys\ représentera le triangle SgS, de l’espace; l’angle s'ys\ sera donc l’angle cherché.

73. Représentai ion d'un icosaèdre régulier {fig. 56 et 56 bis).

Si l’on a bien comiiris ce que nous avons dit sur la construction de l’icosaèdre régulier {Conipl. de Géont., 125), on voit (|u’on peut aussi le regarder comme formé de deux pyramides pentagonales régulières et identiques, dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux ; ces iijramides dont les bases sont parallèles, sont opposées fune à l’autre; et la base de la seconde iiyramide doit être considérée comme ayant tourné par rapport à la base de la première pyramide, d’une demicirconférence autour de l’axe perpendiculaire aux plans des deux bases, qui joint les sommets des deux pyramides. L’intervalle entre les deux pyramides est comblé par dix triangles équilatéraux obtenus en joignant chaque sommet de la base de la pyramide supérieure aux deux sommets correspondants de la base de la pyramide inférieure. De cette façon on a bien, en chacun des douze sommets de l’icosaèdre, cinq triangles équilatéraux égaux et également inclinés.

Ceci posé, prenons (^g. 56) le plan horizontal parallèle aux plans des bases des deux pyramides pentagonales. La base de la pyramide supérieure dont le sommet est S, se projettera horizontalement en véritable grandeur suivant le pentagetne^abede tracé en lignes pleines, ab (qui représente l’arête de l’icosaèdre) est dans l’épure placé parallèlement à LT. La base de la pyramide inférieure dont le sommet est S,, se projettera horizontalement en véritable grandeur suivant le pentagone fghlm tracé en lignes ponctuées. Les sommets S et S, se projetteront horizontalement au centre commun de ces deux pentagones, dont les sommets partageront (d’après la disposition relative des deux bases) la circonférence sa en dix parties égales. En joignant le point 5 aux points a, b, c, d, e, et chacun des sommets du pentagone abede aux sommets voisins du pentagone jghhn, on complétera les projections horizontales des vingt arêtes vues de l’icosaèdre; les dix autres sont invisibles, et leurs projections doivent être tracées en lignes ponctuées.

Supposons que le plan de la base de la pyramide supérieure ait pour trace verticaie la parallèle c'c'à I.T. 11 faut trouver la hauteur du sommet S au-dessus de ce plan. Pour cela, nous

Dk ■

GÉOMÉTRIE DESCniPTIVE. 4^ *

remarquerons que celle hauleu^ fail parlie dans l’espace d’un iriangle reclangie donl l’autre côté est le rayon du cercle circonscrit à la base ABG)E, et dont l’hypoténuse est l’arête même de l’icosaèdre. Par le point s, nous élèverons donc à sd, par exemple, une perpendiculaire sur laquelle nous déterminerons la longueur ss,, en décrivant un arc de cercle du point d comme centre avec de pour rayon.» Nous prendrons alors sur la perpendiculaire abaissée du point s sur LT et sur c'e', une longueur d's' = ss„, et nous aurons en s' la projection verticale du sommet S. Les projections verticales des arêtes qui partent de ce sommet seront donc s'a', s'b', s'e', s'd', s'e'.

Il faut maintenant trouver la distance des plans des bases des deux pyramides SABCDE et S,FüHLM.

Remarquons que nous connaissons la projection horizontale ah de l’arête AH, par exemple, et la véritable longueur de celte arête entre les deux plans, laquelle est représentée par le côté hl. Nous aurons donc immédiatement la distance demandée (54) en formant sur ha un iriangle rectangle haa, , donl - l’hypoténuse ha, = hl. Par suite, on mènera à c'e' la parallèle h' ni' telle, que la perpendiculaire e'h' à LT soit égale à aa, ; h'm' représentera la trace verticale du plan de la base de la pyramide inférieure S.FGHLM. Si l’on prend sur la perpendiculaire is' à LT, à partir de son point de rencontre avec h'm' et au-dessous de celle droite, l's', =d's', s', sera la projection verticale du sommet S,. Les projections verticales des arêtes qui partent du sommet S, seront donc s',f, g-', «',/*'>

En joignant le point a' aux points h' et /', le point b' aux points V et m', etc., on aura les projections verticales des dix dernières arêtes de l’icosaèdre.

Quant au développement de ce polyèdre, nous supposerons qu’on le fende suivant les arêtes SD, AB, BC, CD, EA, et suivant les arêtes S, H, GF, FM, ML, LH et GE, pour déployer sa surface entière sur un plan horizontal mené par le sommet S. Nous obtiendrons ainsi la Jig. 56 bis. Les deux pyramides terminales sont développées en SDCBAEDS et en SiHGFMf.HS,.

, Les dix triangles qui les utrissent, constituent la bande comprise entre les dt:ux parallèles égales EE, GG. L’échelle de la Jig. 56 bis est la moitié de l’échelle de la Jig. 56.

Si l’on abaisse des sommets B et E des perpendiculaires BP et EP sur l’arête SA, l’angle de ces perpendiculaires mesurera l'inclinaison de deux faces adjacentes de l’icosaèdre. Cet angle BPE est l’angle au sommet d’un triangle isocèle dont la base est BE ou be. Pour avoir la hauteur de ce triangle, remarquons que le pied de celle hauteur dans le plan ABCDE

GÉOMÉTlllE UESClUP'VIVE.

est le point (1, 1') milieu de la dfoite(6e, b'e'), tandis que le sommet du triangle est le point [p, p') milieu de l’arête (sa, s'a'). Cette hauteur aura donc pour projections ip et i'p'. En prenant T.i, — pi, sa véritable grandeur sera p'i', (54), et l’on n’aura qu’à prendre sur sa une longueur ip,=.p'i'^, pour obtenir en ep,b le rabattement du triangle EPB. L’angle cherché sera donc mesuré par l’angle ep, b.

Remarque. — 11 est essentiel de remarquer que , dans le triangle rectangle dss, (fig. 56), ds représentant le rayon du cercle sa et ds, le côté du pentagone régulier inscrit dans ce cercle, ss, = s'd'=s',l' représente à son tour le côté du décagone régulier inscrit dans le même cercle (Géom., 129).

De même, le triangle rectangle haa, montre que, ah étant le côté du décagone régulier inscrit et ha, le côté du pentagone régulier inscrit , la hauteur aa, = h'e' est égale au rayon du cercle sa.

Pour trouver la hauteur commune des pyramides opposées qui terminent l’isocaèdre ainsi que la distance des traces verticales de leurs bases, il n’est donc besoin d'aucune construction particulière.