SUR LUS PLANS TANGENTS AUX SURFACES UE RÉVOLUTION

Supposons d’abord qu'on veuille mener à une .surface de révolution un plan tangent qui la touche suivant un parallèle ou un méridien donné, et quijiisse par un point extérieur donné.

' M c’est un parallèle qui est tltnné, on peut concevoir ce parallèle comme la base d’un cône ayant pour génératrice la tangente menée en un point de ce parallèle au méridien qui y passe. Ce cône sera langent à la surface de révolution tout le long du parallèle proposé, et la question sera ramenée à mener par le point extérieur donné un plan tangent au cône auxiliaire. Pour le faire simplement, on mène par le point donné un plan hori/.ontal qui coupe le cône suivant un parallèle facile à construire. Les tangentes menées à ce parallèle par le point donné appar-

NOTES

tiennent aux plans tangents cliercliés qui sont dès lors déterminés, puisque cliacun d’eux renferme en outre la génératrice correspondante du cône.

Si c’est un méridien €/tii est donné, on pourra le regarder comme la directrice d’un cylindre dont les génératrices (tangentes aux parallèles de la surface de révolution) seront perpendiculaires à son plan. En chaque point de ce méridien, la surface de révolution et le cylindre qui lui est circonscrit auront même plan tangent. La question sera alors ramenée à mener par le point extérieur donné un plan tangent au cylindre auxiliaire.

Dans le cas de la surface gauche de révolution, si c’est un parallèle qui est donné, on peut mener le plan tangent à la surface en un point quelconque de ce parallèle, puis le faire tourner autour de l’axe de la surface jusqu'à ce qu’il vienne passer par le point extérieur donné.

Si c’est un méridien qui est donné, comme le plan tangent cherché doit lui être perpendiculaire, on pourra construire immédiatement l’horizontale de ce plan qui passe par le point extérieur donné. De plus, les points où celte horizontale coupe le parallèle de la surface déterminé par le plan horizontal correspondant, sont aux plans tangents demandés et aux génératrices de la surface qu’ils contiennent. Il sera donc facile de déterminer ces génératrices, et par suite les plans tangents correspondants.

Pour mener à une surface de révolution, parallèlement à une droite donnée, un plan t/ui soit tangent h la surface suivant un parallèle ou un méridien donné, on emploiera le même procédé que dans le cas où le plan tangent doit passer par un point extérieur donné.

On substituera donc à la surface proposée un cône droit ayant même axe que la surface, et pour base le parallèle donné, ou un cylindre droit ayant pour base le méridien donné.

Dans le premier cas, on pourra d’ailleurs, s’il est nécessaire, transporter le cône auxiliaire parallèlement à lui-même, son sommet restant sur l’axe, sans altérer en rien les résultats. On pourra de même, dans le second cas, remplacer la droite donnée par une parallèle menée à cette droite par un point de l’axe de la surface considérée.

On peut encore demander de mener à une surface de révolution un plan tangent parallèle à un /dan donné.

En conduisant par l’axe de la surface un plan perpendiculaire au plan donné, on aura le méridien sur lequel se trouve le point de contact du plan tangent cherché. Ce méridien coupera le plan donné suivant une droite parallèle à son intersection avec le plan tangent. Par suite, en menant au méridien des tangentes parallèles à la droite obtenue, on aura une droite de chacun des plans tangents demandés. Le problème sera donc résolu, puisque la direction de ces plans tangents est déterminée.

Dans le cas de Phyperboloïde de révolution à une nappe, on au, -a recours aux propriétés du cône asymptote.

Si l’on mène par le sommet de ce cône un plan parallèle au plan donné, ce plan coupera le cône suivant deux génératrices parallèles aux génératrices de la surface qui sont contenues dans les plans tangents cherchés. Ces génératrices seront donc faciles à déterminer, ainsi que les plans tangents correspondants.

Ce qui précède permettra de construire facilement la courbe de contact d’une .surface de révolution avec un cône circonscrit de sommet donné ou avec un cylindre circonscrit dont la direction des génératrices est connue.

^OTES.

En effet, on mènera dans la surface pioposée une suite de parallèles ou de méridiens, et on cherchera les points de contact des plans qui, touchant cette surface suivant ces parallèles ou ces méridiens, passent en même temps par le sommet du cône circonscrit ou sont parallèles aux génératrices du cylindre circonscrit.

courbe demandée sera déterminée par les points de contact obtenus.

FIN DU TKOISIÈME ET DERNIEa VOLUME.

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