I -+-aa
tang V= 00 ,
si le numérateur de l’expression langV =
était infini ,
I 4-aa
le dénominateur ne l’étant pas. Dans ce cas, a' ou a serait infini. Si a', par exemple, est infini, la droite OA' se confond avec l’axe des y. En divisant les deux termes de la valeur de tang V par a', il vient
tangV = ,
4o GÉOMÉTItlE ANALYTIQUE.
d’où, en faisant a' = oo ,
lang V = --
Celte expression ne peut être infinie que poura=o, et alors la seconde droite OA se confond avec l’axe des x. Les valeurs a — ovx a’ =oo satisfont au reste à la relation
I + aa' = o.
Celte relation exprime donc l’unique condition de perpendicularité.
45. VI. D'un point donné, abaisser une perpendiculaire sur une droite donnée, et trouver la longueur de cette perpendiculaire {Jig. i6).
Soit la droite AB ayant pour équation
yz=.ax-\-b;
soit le point M dont les coordonnées sont x',y'. L’équation de la perpendiculaire MD abaissée du point M sur la droite AB sera de la forme (40)
Les axes étant supposés rectangulaires , on devra avoir (44, I»)
L’équation de la perpendiculaire MD sera donc y—y'z= — l{x—x').
Pour obtenir sa longueur, nous considérerons le triangle rectangle MDQ, qui nous donnera, a étant l’angle de la droite AB avec la partie positive de l’axe des x,
MD= MQ cos«.
Mais
MQ = MP — QP.
MP est l’ordonnée y du point M, QP est l’ordonnée de la droite AB, qui correspond à l’abscisse OP=*'. On a donc
QP = ax'-f-6.
Par suite,
MQ =^'' — ax' — b.
D’ailleurs
tanga = a et cns« — - -=
yi-i- langea yi-t-a’
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 4l
11 viendra finalement
yi + a’
MD étant une distance absolue, on donnera au radical le signe du numérateur r' — ax' — b. Suivant que le point M sera au-dessus ou au-dessous de la droite AB, on aura MP ou j'>ou<[que QP ou ax' + b. On donnera, par conséquent, au radical le signe -t- ou le signe — suivant que le point M sera au-dessus ou au-dessous de la droite AB.
Si les axes coordonnés étaient obliques, on aurait
MD = MQ sin ( 0 — a),
d’où
i-t-acosÔ
cos«=-p- ■ ■ L et
V I -t-a’-|-2acos0
tang a =
sin«=-
asind -+■ a cos 0 ’
rtsin0
