MD

V^i -l-a’-f- 2acos0

{y' — ax' — & ) sin 0 yj I -I- a’ -1-20 COS0

Le signe du radical dépendra toujours de la position du point M par rapport à la droite AB.

Cette formule et la précédente sont faciles à retenir; y — — b représentant le premier membre de l'équation X — ^ — b = o, dans lequel j et ar sont remplacés par et a:'.

Remarques. — i" Si l’on veut avoir la distance de l’origine à la droite y=z ax-yb, il faut, dans les formules obtenues, faire

jd = x' — O.

Il vient alors pour la distance cherchée : dam le cas des axes rectangulaires,

dans le cas des axes obliques,

— <>sin 0

y/ i-i-fl’-|-2flcos0

2“ Si l’équation de la droite AB est donnée sous la forme

GÉOMÉTBIK ANALYTIQUE.

+ C = O, il faut remplacer a par — Â ^ ~ A

Les deux formules trouvées deviennent dans ce cas

Ar'+B.r'4-C ( Ar'-hB.r' + C )sin 9

MD=— = --T-Tr-.-Tz:^ , MD = -7-^-=^- ~ •

\/A’4-B^ V^A’+B’— sABcosô

3" Il est facile, d’après ce qui précède, de trouver l'équation de ‘la bissectrice de l’angle de deux droites

y=ax-\-b, y — a'x + b'.

Ces deux droites forment deux angles supplémentaires dont les bissectrices sont à angle droit. Les distances d’un point quelconque {x,y) de la première bissectrice aux deux droites ont pour expressions

Y — ax — b y — a'x — b'

± V' I -i- Zf. yj i-\-a"‘ ’

les signes supérieurs ou inférieurs des deux radicaux devant être pris ensemble. Pour la seconde bissectrice, on a au contraire

y — ax — b y — a'x — b'

les signes supérieurs ou inférieurs des deux radicaux devant toujours être pris ensemble. Les deux bissectrices ayant tous leurs points à égale distance des droites considérées, seront donc représentées par l’équation

y — ax — b y — a'x — b'

\/i -l-fl’ ± I -t-

On peut facilement vérifier la perpendicularité des deux bissectrices. Le coefficient angulaire de la première est

fl I -t- a"‘ — a' s/ 1 -1- a' ,

\J i a' ^ — yji-ya^

le coefficient angulaire de la seconde est

^ I -t- fl'* H- 1 -i- fl’

Si l’on fait le produit simplifiant

de ces deux coefficients, on obtient en.

fl’ — fl’

La détiiiilion de la bissectrice donne imniédialemenl pour i'*qualions des bissectrices des angles formés par les axes

y=x et — X.

On retrouverait ces résultats en introduisant dans la relation générale qu’on vient de démontrer, les conditions

a — b—b'=o et a' — co .

Si les équations des deux droites proposées étaient de la forme

-t- Bo? + C = O, A' k-i- B'æ; 4- (7= O,

l’équation des bissectrices deviendrait

Notons à ce sujet, comme nous l’avons déjà remarqué, que l’équation or -H 6 ne peut pas représenter une droite parallèle à l’axe des^\