t- ma I — ma

relations qu’on pourrait écrire immédiatement, en remarquant que l’angle de la droite cherchée avec l’axe des x est égal à la différence ou à la somme de l'angle de la droite donnée avec le même axe et do l’angle imposé.

Les deux solutions de la question seront donc, renfermées dans l’équation

, a-=pm , , ,

Les signes supérieurs et inférieurs doivent être pris ensemble.

47. 2° Trouver la surface d’un triangle en fonction des coordonnées de ses sommets.

Soient (x', y'), (x”, y"), (x”, y") les coordonnées des trois sommets. Prenons pour base le côté qui joint les points (x', j'), (x", j"). On aura, en désignant cette base par ô (30),

La hauteur du triangle sera la perpendiculaire h abaissée du sommet (x", y") sur la base b. L’équation de la base b considérée comme droite indéfinie étant

l’expression de la hauteur h sera (44, 4S )

c’est-à-dire

{r-MA.

^[x"’-xj + (y'’-y'y

La surface S du triangle ayant pour expression ^ bh, il viendra

S = i [[y’af-x'y") + [y'x” - xy”) - (r'x’"-x'j'")].

48. 3° Les bissectrices des angles d’un triangle concourent en un meme point (Compl. de Géom., 22).

Soit le triangle ABC [Jig. 17). Nous prendrons pour axe des x le côté AB et pour axe des y la perpendiculaire élevée par le sommet A au coté AB. L’équation du côté AC sera de la forme

celle du côté BC de la forme celle du côté AB sera

y = ax, y = a'x + b', 7=0.

D’après ce qui précède (45), l’équation de la bissectrice de l’angle CAB sera

r — ox — v/i-+-a*

L’équation de la bissecàrice de l’angle CBA sera

Enfin, celle de la bissectrice de l’angle ACB sera y — ax 7 — a’x — b' — v^l + «' V^l +

Si l’on retranche les équations des deux premières bissectrices membre à m’erabre, on tombe précisément sur l’équation de la troisième bissectrice ; le théorème est donc démontré.

49. 4° Dana tout triangle, le point de concours des trois médianes, te point de concours des trois hauteurs et le centre du cercle circonscrit, sont en ligne droite.

Nous avons déjà prouvé (43, Renianpies, a”) que les médianes d’un triangle se coupaient en un même point. En suivant une marche identique, bn prouverait que les trois hauteurs passent aussi par un même point, et qu’il en est de même des trois perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés.

Ceci posé, nous prendrons pour axes (^g. i8) le côté AB et la perpendiculaire élevée à ce côté par le sommet A. Nous désignerons par d la longueur AB, par /j et 17 les coordonnées du sommet C. Les deux médianes correspondantes aux côtés BC et AC auront pour équations

l.es coordonnées du point d’intersection des trois médianes seront donc

Les deux hauteurs correspondantes aux côtés AB et AC auront pour équations

x = p et 1=:— ^(x — d).

Les coordonnées du point d’intersection des trois hauteurs seront donc

x=p et y--

Enfin , les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés AB et AC auront pour équations

Les- coordonnées du point d’intersection des trois perpendiculaires élevées BUT les milieux des côtés du triangle seront donc

^ = i et y='£±P^.

L’équation de la droite qui passe par les deux derniers points d’intersection est

f/'+p’—pd p{d — p) p(d — p) 2« ? / V

et ou voit immédiatement que cette éA^uation est satisfaite par les coordonnées du premier point d’intersection : le théorème est donc démontré.

Pour avoir le rapport des distances des points d'intersection considérés, il suffit, puisqu’ils sont en ligne droite, de chercher celui des différences de leurs abscisses. Or on a

P-^<i d ip~rl p^d 1,, — d

Donc, la distance qui sépare le point de rencontre des trois hauteurs de celui des médianes est double de la distance qui sépare le point de rencontre des médianes du centre du cercle circonscrit.

On arrive très-simplement aux mêmes résultats par la géométrie élémentaire. G étant le point de rencontre des médianes, I celui des trois hauteurs, O le centre du cercle circonscrit, la similitude des deux triangles AGI, DOE, donne

CI = aDO.

Si l’on compare alors les deux triangles GOD, GIC, on voit que GC étant égal à aGD, ces triangles sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels. La ligne IGO est donc une seule et même droite, et l’on a

oO. 5" On donne un angle COD et un point A hors de cet angle. On mène par ce jmnt deux sécantes quelconques ACD, AC'D', et l’on joint diagnnalement les points d’intersection C et D', C' et D. Ces droites se croisent en un point M dont on demande le lieu [^fig. ig).

Nous prendrons pour axes les deux côtés de l’angle COD, et nous désignérons par a et ^ les coordonnées du point A. Soient d et d' les distances indéterminées OD et OD'. L'équation de la sécante AD sera

relie de la sécante AD' sera

Pour avoir OC et OC', il suffira de faire x =.o dans ces équations. On trouvera ainsi