OC
deviendront
et
qui sont
CÉOMf.TP.IE AKAI.VTIQUE. 47
Les valeurs de > et <Jc ,r qui satisferont à la fois à ees deux équations seront les coordonnées du point M (i“2). Ce qui particularise le point M, ce sont les valeurs de d et de <■/'. Si l’on parvient a éliminer d et d' entre les équations obtenues (ce qu'on ne pourra faire qu’en y attribuant par la pensée les mômes valeurs à / et à x), on obtiendra une relation constante entre les coordonnées jr et x d’un point quelconque du lieu géométrique indiqué, c’est-à-dire l’équation même de ce lieu.
On peut mettre les équations (i) et (a) sous la forme
d'[d — 5c)>'-+-^f/x = pdd\ d(d' — x]y-\-pd' x= bdd'.
Si on les retranche membre à membre, il vient
(3) {d—d')(ay+px)=^o.
Tant que d est différent de d', l’équation (3) revient à
(4) ot.y-\-px = o,
qui est l’équation du lieu. Ce lieu est donc une ligne droite passant par , l’origine et facile à construire.
On déduit, en effet, de l’équation (4)
et, pour X = — a, on a
Donc, par le point A, on mènera une parallèle AL à l’axe des x, on prendra sur cette parallèle LA' = LA, et l’on tracera la droite OA'. C'est précisément la règle que nous avons donnée ( Compt. de Géom., 28 ) pour trouver la quatrième droite d'un faisceau harmonique.
En se reportant à ce que nous avons déjà dit (Compt. de Géom., 29, 30), le point A est le pôle de la droite OA', et la droite OA' est la polaire du point A par rapport à l’angle COD.
fi
L’équation (4) ne dépendant que du rapport^ ou du coefficient angulaire de la droite OA, le lieu du point M reste le même tant que le point A demeure sur la droite OA, c’est-à-dire que la droite OA' est la polaire de tous les points de OA.
Réciproquement, la droite OA est la polaire de tous les points do 0.4'; en d’autres termes, si par un point M pris sur OA’ on mène les sécantes CD’ et C'D jusqu’aux côtés de l’angle COD, puis qu’on joigne les points d’intersection C et D, C' et D', les droites obtenues CD, C'D', iront se croiser sur OA. En effet, d’après ce qui précède, a' et étant les coordonnées d'un point quelconque de OA', la polaire de ce point aura iwur équation
ar + yx—o ou r— — —,x.
Mais on aura aussi, d’après l’équation (4),
aS'-(-âa'=io ou — -•
48 CÉOMÉTRIE Analytique,
L’équation de la polaire du point (a', p') sera donc
c'est-à-dire que cette polaire sera la droite OA.
51. Remarque sur la recherche des lieux géométriques par l’analyse. — Lorsque la réponse à un problème de géométrie consiste dans la détermination d'un ou plusieurs points isolés, le calcul appliqué à ce problème conduit finalement à deux équations
f(x,r) = o, F{x,y)=zo,
où les seules inconnues sont les coordonnées des points cherchés. On peut alors résoudre ces deux équations ou construire les courbes qu’elles représentent isolément lorsqu’on y considère y et X comme des coordonnées variables ou courantes : dans ce dernier cas, les différents points d’intersection des courbes tracées sont les points demandés, puisque les coordonnées de ces points représentent les seuls couples de va-' leurs communes aux deux équations.
Mais il peut arriver que le problème admette une infinité de solutions ou qu’une infinité de points disposés d’une manière continue dans le plan de la figure répondent à la question. Il ne s’agit plus alors de la détermination d’un ou plusieurs points isolés, mais bien de celle d’un lieu géométrique. Dans ce cas, le problème soumis à l’analyse conduit en général à un nombre d’équations inférieur d’une unité à celui des inconnues. Ces inconnues sont, d’une part les coordonnées y et X d’un point quelconque du lieu cherché, et de l’autre les n inconnues auxiliaires ou paramètres variables a, b, c,. . . , qui entraînent parleurs mpdifications les changements de situation des lignes dont la combinaison détermine le lieu. ^ Ayant n-i- i équations entre les /i -l- 2 inconnues, on élimine, s’il est possible, les n paramètres a, b, c.. . et l’on arrive à une équation ne contenant plus que les inconnues principales y et X. Cette équation, représentant uné relation constante entre les coordonnées d’un 'point quelconque du lieu demandé, est l’équation même de ce lieu.
Il peut se faire qu’on ait seulement n équations pour ra + 2 inconnues. Par exemple, dans le problème précédent (50), on a obtenu deux équations contenant les quatre inconnues y, x, d, d'; mais les paramètres d et d' n’étant soumis à aucune condition spéciale, c’est-à-dire étant complètement indépendants l’un de l’autre, doivent, si le lieu existe, disparaître forcément par le jeu même du calcul. C’est en effet ce qui arrive.
«éOMÉTHlE AN ALYTIQI K.
