X = YZ
On a donc (343)
limX = limYlimZ,
c'est-à-dire
/, — /,X ou ^ = 7"
345. VI. La puissance entière d'une quantité Variable a pour limite la même puissance de la limite de cette quantité, pourvu que l'exposant de la puissance soit un nombre fini.
Soient X la quantité variable élevée à la puissance p et / la limite de X.
X* étant le produit de p facteurs égaux à X, la limite de Xp sera le produit des p limites de ces facteurs, c'est-à-dire /', puisqu'on suppose p fini (343)* On aura donc
limX'' — /* = (limX)'\
346. VII. La racine d'une quantité variable a pour limite la même racine de la limite de cette quantité.
Soit X la quantité variable, dont on a à prendre la racine wiènjc. S0ient / la limite de X et l la limite de "s/%. On a identiquement
Les deux membres de cette égalité étant constamment égaux ont des limites égales (334). On a donc, en appliquant le théorème précédent (345) au premier membre,
>/* = / ou X = V?.
On voit que m doit être un nombre fini.
347. Ce qui précède permet de généraliser le théorème VI et de l'étendre aux cas où l'exposant de la puissance considérée est fractionnaire ou négatif.
Soit d'abord la quantité variable X dont la limite est /. Dé-
signons par X la limite de Xm ou de "s/Xp (140).
La limite de X* étant fr (345), la limite de 's/Xp sera "y/û' (346). On aura donc
i-="yip ou 1 = 1»*.
Soit maintenant la puissance négative X~*, dont nous désignerons encore la limite par X, celle.de X étant toujours /.
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 289
Comme on a constamment (145)
on a aussi (334) c'est-à-dire (344, 345)
limX-? — lim^>
l — jf ou X = M.
Le théorème relatif aux puissances (345) est donc complètement généralisé, et la puissance d'une quantité variable a toujours pour limite la même puissance de la limite de cette quantité, que l'exposant de cette puissance soit entier ou fractionnaire, positif ou négatif, pourvu qu'il reste fini.
Principe fondamental.
348. Tous les théorèmes démontrés ci-dessus ne sont que des cas particuliers du principe fondamental qui constitue, en réalité, la méthode des limites et que nous avons déjà indiqué {Géom., 217).
Nous rappelons ici en quoi il consiste.
Quand on veut trouver une relation entre des grandeurs qui ne se prêtent pas immédiatement aux comparaisons nécessaires, on peut essayer de les remplacer par des grandeurs variables plus simples, dont ell)es soient les limites. Si Ton y parvient, le problème est résolu. C'est ce que nous avons fait constamment en Géométrie, pour la mesure des lignes et des surfaces courbes et pour celle des volumes terminés par des surfaces courbes.
Considérons, pour préciser, une équation quelconque entre des grandeurs variables x> yy z, . . . , qui tendent vers leurs limites a, b9 c, Cette équation sera de la forme
et nous admettons que les fonctions F et <p demeurent continues (Alg. élém., 310), au moins lorsque les variables x, y\ z, . . . sont voisines de leurs limites respectives a, b, c, .... Les différences de x,y, z, . . ., à leurs limites, pourront alors
I)K C. — Cours. III. 19
2f)° ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
èlre assez petites pour que les fonctions F(a?, /, z, ...) et 9(,r, y, z, . . .) diffèrent elles-mêmes aussi peu qu'on voudra de F (a, b, c, ...) et de <p(a, 6, c, . ..), qui représenteront, par conséquent, les limites des deux membres de l'équation (1). Comme les limites de deux quantités égales sont égales (334), on aura finalement
Ainsi, lorsqu'on veut obtenir une relation entre des quantités considérées comme limites de quantités variables d'une espèce plus simple, on cherche d'abord une relation entre ces quantités variables; puis, on n'a plus qu'à y substituer aux quantités variables leurs limites, pour avoir la relation qui lie ces dernières.
En d'autres termes, lorsque des grandeurs variables tendent vers leurs limites, toute fonction de ces variables tend, en général, vers la même fonction de ces limites.
Celte proposition fondamentale résume la méthode des limites, et l'on voit qu'elle renferme tous les théorèmes précédents, qu'on aurait pu énoncer immédiatement comme il suit, en vertu de ce principe :
Lorsque des quantités variables tendent vers leurs limites, leur somme a pour limite la somme de ces limites, leur produit a pour limite le produit de ces limites, etc.
Théorème relatif aux moyennes.
3W. Nous terminerons ce Chapitre en démontrant un théorème sur les moyennes, qui se rattache utilement aux applications de la méthode des limites.
On appelle, comme on sait, moyenne de plusieurs quantités données, une quantité formée à l'aide de ces quantités et comprise entre la plus petite et la plus grande (Arithm.. 198).
Soient a, a! , a", . . . des quantités de même signe, et bf b', b\ ... des quantités de signes quelconques, en nombre égal aux précédentes.
Désignons par y et par à le plus grand et le plus petit des
rapports -, — > hp
ALGEBRE
Les différences
bv
cï
'une part, et
d'autre part, seront toutes de môme signe (Alg. élém., 2lk).
En multipliant les termes des deux suites respectivement
par a9 a'y a\ . . . , on aura encore des termes de même signe,
savoir
ay — b, dy — W, any — b\ . ..,
b — aSy b'—a'd, bn—a"d, ....
Faisons maintenant la somme des termes de chacune des nouvelles suites obtenues et divisons chaque résultat par a -+- a'-f- a" -h. . ; . On aura, pour quotients,
V ; r et : :, Ô,
et ces quotients seront encore de même signe. Il en résulte que la quantité
est une moyenne entre les rapports -, — > — , • • -, comme si
les quantités b, b', b", ... étaient toutes de même signe (Alg. élém., 66); ce qu'on peut indiquer en écrivant
(i) r -, — moy. -, —, — ,, ••■ •
Si toutes les quantités a, a', a\ . . . , en nombre /i, deviennent égales à l'unité, on retrouve, en particulier, pour des quantités de signes quelconques, l'expression de la moyenne arithmétique (Arithm., 198)
(a) = moy. (6, b', 6',...).
Enfin, si l'on remplace, dans la relation (i), A, b', b\ ..., respectivement parles produits ab, a'b', anb\ . . ., ce qui est
29'2 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
permis, puisque b, b', b% ... sont des quantités quelconques de signes quelconques, il vient, en chassant le dénominateur,
(3) ab + a'b'-h a"6"-K.!= {a -h a'+ a'-*-...) moy. (b, b', b", ...).
La somme des produits ab, a' b', a" b", ... est donc égale à la somme des facteurs de même signe a, af, a", . . . , multipliée par une moyenne entre les facteurs de signes quelconques 6, é', b\ . . . .
