P(À — X) = PA — PX
les deux membres de celte égalité ont donc la même limite (334).
Mais, puisque X a pour limite A, le premier membre à pour limite zéro (336), et il en est de même du second. On a, par conséquent,
lim (PA - PX) = o ou lim PX = PA.
341. IL La limite de la différence de deux quantités variables est égale à la différence des limites de ces quantités.
Soient X et Y les deux quantités variables, lt et /* leurs limites, a et (3 les différences qui existent à un instant donné
entre X et Y et leurs limites, différences qui sont des infiniment petits (336). On a d'abord
X = /, + 0c et Y = /t + p, d'où
A la limite, a et (3 s'annulent, et il reste lim(X- Y) -=/,-/,.
34-2. III. La limite de la somme de n quantités variables est égale à la somme des limites de ces quantités, pourvu que n soit un nombre fini.
Considérons les n quantités variables X, Y, Z, . . . , dont les limites sont ll9 /,, lz,
Les différences lx— X, /, — Y, /3 — Z, ... sont des infiniment petits (336).
La somme de ces n différences est moindre que n fois la plus grande d'entre elles, que nous désignerons par a; mais, la limite de a étant zéro, il en sera de même de celle du produit ncn (340) et, a fortiori, de celle de la somme des n différences considérées. On peut donc poser
lim[(/, - X) -f- (/, — Y) -h (/, — Z) -4- . . .] = o
ou
limft/, -+- /, -+- /, -4-. . .) — (X h- Y + Z + . . .)] = o,
c'est-à-dire
lim(X -4- Y -h Z -h . . .) = /t h- /, ■+- /, + . . . .
Ainsi, la limite d'une somme est la somme des limites de ses parties.
La démonstration et le théorème seraient en défaut, si n n'était pas un nombre fini. L'Algèbre l'indique en donnant au produit n<x, pour n =oo, la forme indéterminée ooxo (Alg. élém., 119).
On le voit d'ailleurs bien simplement, en partageant un
nombre donné a en n parties égales. On a alors, quel que
soit n,
a= — i 1 h... («fois).
Si Ton fait croître indéfiniment n, la limite de chaque partie
est zéro, et la limite de leur somme est cependant toujours égale à a.
343, IV, La limite du produit de n facteurs variables est égale au produit des limites de ces facteurs, pourvu que n soit un nombre fini.
Soient X, Y, Z, . . ., W les n facteurs variables, et /„ /„ h> •••. h* leurs limites respectives. En désignant par a, (3, y, . . ., v les différences qui existent à un instant donné entre ces facteurs et leurs limites, et qui sont des infiniment petits (336), on peut poser les égalités
X^/,4-a, Y^-Kp, Z = /3-4-y, ..., W:-i/« + v.
En multipliant toutes ces égalités membre à membre, il vient
XYZ. . .W = (/,+ a) (/, -h P) (/, + y). ..(/„ + v).
Le second membre de cette dernière égalité contient un nombre de termes représenté par 2" (Alg. élérn., 29). Le premier de ces termes est évidemment liltlz . . . ln. Tous les autres termes, en nombre égal à 2* — 1, renferment au moins un des infiniment petits a, (3, y, . . . , v, et tendent, par conséquent, vers zéro quand les facteurs variables tendent vers leurs limites (336, 340). Il en est donc de même de leur somme, à la condition expresse que in — 1 ou n soit un nombre fini (34-2). On a alors, à la limite,
limXYZ.-.W^/j/j /,.../„.
344. V. La limite du quotient de deux quantités variables est égale au quotient des limites du dividende et du diviseur.
Désignons par lv et /, les limites des quantités variables X et Y; soient Z leur quotient à un instant donné, et X sa limite.
De l'égalité
on déduit
