L'identité suivante
1 H- ("t— "s) "H. . .-h (m«-, — un)
où w0, £/j, Wj, w,, . .., ««„!, m,,, ... sont des nombres assujettis seulement à la condition que un devienne infiniment petit (336) pour n infiniment grand (337), renferme un très grand nombre de séries dont la somme est connue, c'està-dire de séries convergentes,
La somme de la série est le premier membre de l'identité; ses termes sont les différences indiquées dans le second membre. Cette série est convergente, car la somme des n premiers termes se réduit à u0— unf c'est-à-dire, à la limite à u09 puisque, pour n assez grand, un est un infiniment petit.
358. Nous allons faire quelques applications de l'identité (i). i° Soient
t/0=i, «i = jc, ttj = jrî, «3=x», ...,
et
L'identité (i) devient
ou, en divisant les deux membres par i —
. . -f- Xn~l H- . .
comme au n° 356.
2° Soient
l/0 = I , Ui= - j Ut — - * «3 = 7 »
• • • y Un~
L'identité (i) devient
-(--lMi-iMH)-+G-.-±7)*
c'est-à-dire
3° Soient
U0 = 1 m = - y Ut— -9 «3 = - , • • • ,
L'identité (i) nous. donne
' = (' - 0 ;- (s - 5) + (5 " -5) + "+ fcn=ï " ïïïtt) + "'
c'est-à-dire
et, par suite,
2 3 i5 35 "" ' (m — r)(2/* -h 1) 4° Soient, enfin,
ce c «o=arctang-> «j — arc lang — -j , //j = .arctang t»
//, ^ arc tang irL , . . . , //,»! — arc tang — : -7 ,
La condition imposée (357) est toujours remplie; car, pour n infiniment grand,
un = arc tang 7
est infiniment petit (Trigon., 22).
L'identité (1) devient
arc tang - = ( arc tang arc tang — —r )
-r- (arc tang T — arc tang — - — T )
\ ° a-i- 0 na f- 20/
+ (arc *"« ïilù ~ arc lang -c^Tb) +■■■ + [arc «"«a -h J-.)A - arc ^TTHb] +
et, en remarquant que l'on a, d'une manière générale ( Trigon. 55 >,
arc tang
© 7 rr — arc tan& — : — 7
a -T- (n — 1 ) /; « -4- ///> : arc tang
: arc tang
[a-~ (n — i)b][a-rfiù]
bc .
[a-t-(st -i)b][a -/ib] -t-c*'
on peut l'écrire
c t bc arc tang - — arc tang — r - - — -
bc arc tang
arc tang
— arc tang-. t . , . . , - ..
0 [« h- (/* — \)b\ [a ■- nb] -:- c%
On peut maintenant faire dans cette formule les hypothèses qu'on voudra sur les quantités a, h, c.
Prenons, par exemple, « — i, b = 1, r = i, et nous trouverons (7>^o/i., 22)
arc tang 1
, — arc tang ^ 4- arc tang - -t- arc tang — 4 5 7 *<*
•arc tang — --...-- arc tang
21 /zs - - /< -r- 1
359. On peut ramener, dans certains cas, la série proposée à Ja forme affectée par l'identité (1) (357), et la sommer alors immédiatement.
Pi Soit la série
x(x-hi) ' (.v + i)(jc-t~i) ' (x+2)(.r+3)
(.v-hn — i)(.c -+-//)
On a évidemment, quel que soit ,r,
(.r--Hi)(.r-ha)
(.r-f- il — l)(.r -+-/*)
