X -f- Il

- 1 X -t- Il

En ajoutant toutes ces identités membre à membre, on trouve évidemment

ii i i

x(x\-i) (x -i){x-h-i) (x-rî)(i' + 3)

(x -+■ n — i)(x-hn)

360. On peut aussi, dans certains cas, obtenir la somme d'une série en la décomposant, par le partage approprié de chacun de ses termes, en séries plus simples ayant des sommes connues.

Posons

S = i + 2.i-f- 3.r2-f- \xz-±-. . . -h tixn-l-'x-(n -+• i)x" -h. . .,

jt étant un nombre positif ou négatif, plus petit que î en valeur absolue. On peut mettre la relation précédente sous la forme

S — i -f- x -+- .r2 -h .r3 -t- . . . -4- xn~l -h x" - - . . .

-+- X -f- X- -h .r3 -n- . . . -r- Xn~l -+- X" -h . . .

-f- .r2 -f- .r3 -f- . . . - - xn~l -f- xn -r- . . .

La première ligne de la valeur de S représente (336); la deuxième

ligne, en mettant x en facteur commun, représente __ ; la troisième

ligne, en mettant x2 en facteur commun, représente -> etc.; la

xn (/* ■+• i)*lM ligne, en mettant xn en facteur commun, représente

3oO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

On a donc finalement (3o6)

I X X* x* xn

i -+■ x -f- ,r* -f- .r3 ■+- . . . -h xn -+- . . . i

361. Ces exemples suffisent pour montrer qu'il existe un nombre, pour ainsi dire indéfini, de développements que Ton peut effectuer ou de séries convergentes que Ton peut sommer par des procédés simples.

On en trouvera de très intéressants dans le beau Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral de M. J. Bertrand.

Premier caractère incomplet de convergence. — Exemple de série divergente : série harmonique.

362. I. Pour qu'une série soit convergente, il faut que, à partir d'un certain rang n, la valeur de ses termes tende vers zéro autant qu'on veut, à mesure que n augmente.

Considérons, en effet, la série supposée convergente

S =tf0+«l+ Ut-\- M3+. . .-+- M/j-t-h Un-+- H„-»-i-h

Si n est suffisamment grand, nous pourrons, par définition (352), poser à la fois

S = limS„ et S = limSn+1.

Il en résultera (341)

limSjn-!— limSw— lim(S/n l— S„)~ o ou lim«„=o.

Pour qu'une série soit convergerite, il est donc nécessaire que ses termes aient pour limite zéro, puisqu'il en est ainsi pour toute série supposée convergente; mais cette condition nécessaire n'est pas suffisante, comme nous allons l'établir pour une série remarquable, dite série harmonique, et comme on peut l'établir pour un grand nombre d'autres séries.