SÉRIES DONT LES TERMES SONT TOUS POSITIFS. RÈGLES DE CONVERGENCE

Indications préliminaires.

369. Lorsque les termes d'une série sont tous positifs, la somme de ces termes croît sans cesse à mesure qu'on en prend davantage. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une pareille série soit convergente est donc que la somme de ses termes, quelque loin qu'on la prolonge, ne puisse pas croître au delà de toute limite.

En effet, si les résultats croissants obtenus en prenant un nombre de termes de plus en plus grand ne peuvent pas dépasser toute limite, ils approchent nécessairement autant qu'on veut du plus petit nombre qu'ils ne peuvent pas surpasser, de sorte que la série a une limite déterminée.

Il suffît donc, pour prouver la convergence d'une série à termes positifs, de reconnaître que la somme de ses termes ne croît pas indéfiniment.

Une série à termes tous positifs ne peut pas être indéterminée (352) : elle ne peut être que convergente ou divergente.

370. Il est évident que, si la série donnée a ses termes, à partir d'un certain rang, constamment plus petits que les termes correspondants d'une autre série convergente à termes positifs, elle est elle-même convergente (369).

Si elle a, au contraire, à partir d'un certain rang, ses termes constamment plus grands que les termes correspondants d'une autre série divergente à termes positifs, elle est divergente (369).

3o8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Nous disons : à partir d'un certain rang; car, si Ton donne à n une valeur finie, la convergence ou la divergence se manifeste seulement dans les termes qui suivent S„ et qui constituent R„ (351, 362). .

La comparaison s'établit, en général, pour les séries con- | vergentes, avec une progression par quotient décroissante et illimitée convenablement choisie et, pour les séries diver- j gentes, avec une progression par quotient croissante et illi- j mitée ou avec la série harmonique (353, 364). i

Théorèmes I, II, III, IV.

371. I. Si, à partir d'un certain rang, le rapport d'un terme au précédent est constamment moindre qu'un nombre fixe k plus petit que i, la série est convergente.

Soit la série

w0 -H «i -H u* 4- ut -+-... -H un-x -4- un 4- un+x -+-

Admettons que, à partir du (/i-+-i)ièmo rang, on puisse poser

<^ A, <^ A, <^ fi y ....

On en déduit

un+t < kun9

«/i+î< kitn+x et, a fortiori, un+t<k*un,

un+z< kun+s et, a fortiori, w„+*< k*un,

11 en résulte que, à partir du (n-\-i)ième rang, les termes de la série sont inférieurs aux termes successifs de la progression par quotient décroissante et illimitée

un~+- kun~+- k*un+k*uH-\-

La série proposée est donc convergente (370).

Ce théorème est important, en ce qu'il fournit immédiatement une limite supérieure de Terreur commise quand on s'arrête dans la série à un certain terme.

En effet, si Ton s'arrête inclusivement au terme «n, ou si Ton conserve dans la série les n premiers termes, le reste

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3o()

R„~ S — S„ (352) est moindre que la limite de la somme des termes de la progression par quotient décroissante et illimitée

un -H kun-h ^«fl-h A3«„4-. ..,

c'est-à-dire que (Alg. élént., 3'*2)

Telle est donc la limite supérieure de Terreur commise en ne conservant dans la série que les n premiers termes : elle est égale au premier terme négligé divisé par l'excès de l'unité sur le nombre fixe Â.

372. II. Inversement, si, à partir d'un certain rang, le rapport d'un terme au précédent est constamment supérieur à un nombre fixe k plus grand que i, la série est divergente.

Admettons que, à partir du (n -+- i)ième rang, on puisse poser

un un-h\ un-hi

On en déduit évidemment

un^>kun9 m„+î>âîw„, / un+3>k*un,

Il en résulte que, à partir du (/i4-i)iimo rang, les termes de la série sont supérieurs aux termes successifs de la progression par quotient croissante et illimitée

un-±- kun-\- k*un-\- k*un-+-

La série proposée est donc divergente (370).