III. Lorsque, dans une série, le rapport — — tend
un
vers une limite déterminée /, à mesure qu'on fait croître n indéfiniment, la série est convergente ou divergente, suivant que cette limite l est plus petite ou plus grande que i.
En effet, dans le premier cas, on peut choisir entre / et i un
nombre û\e k, alors <i, au-dessous duquel le rapport — —
tombera nécessairement en tendant vers sa limite / : la série est donc convergente (371).
3lO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Dans le second cas, on peut choisir entre i et / un nombre
fixe k> alors >i, au-dessus duquel le rapport -^ tombera
nécessairement en tendant vers sa limite / : la série est donc divergente (372).
374. La limite l peut être égale à l'unité. Il y a alors deux cas à distinguer :
i° Le rapport -^ peut s'approcher de sa limite / = i, en
lui restant toujours supérieur. Les termes de la série vont alors constamment en croissant, à partir d'un certain rang, et la série est nécessairement divergente (352, 362).
'J Le rapport -^ peut s'approcher de sa limite l = i9 en
lui restant toujours inférieur. On est alors dans le doute; car les termes de la série vont constamment en diminuant à partir d'un certain rang, mais leur somme va constamment en augmentant, et l'on ne sait pas d'avance si cet accroissement se produit sans limite.
Nous énoncerons donc ce quatrième théorème :
