CHAPITRE IV

SÉRIES DONT LES TERMES ONT DES SIGNES QUELCONQUES. RÈGLES DE CONVERGENCE.

388. Lorsque les termes d'une série ont des signes quelconques, il semble plus difficile de trouver des règles de convergence. Les théorèmes suivants sont, par cela même, très importants.

Théorèmes I, IL

389. I. Lorsqu'une série, dont les termes ont des signes quelconques, devient convergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement, elle est convergente, et on peut la regarder comme la différence de deux séries convergentes formées par ses termes positifs d'une part, et par ses termes négatifs, d'autre part.

La série proposée, étant convergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement, est nécessairement convergente, puisqu'on a le droit de multiplier par — i quelques-uns des termes de la série à termes tous positifs ainsi obtenue, c'està-dire de revenir à la série proposée, sans que la convergence cesse d'exister (367, VI).

On peut donc appliquer aux valeurs absolues de ses termes toutes les règles de convergence démontrées pour les séries à termes positifs.

En second lieu, on peut considérer les termes positifs et les termes négatifs de la série comme constituant deux séries distinctes, convergentes toutes deux.

En effet, la série proposée étant convergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement, la somme des valeurs

absolues de ses termes reste au-dessous d'une certaine limite i\\e. Il en est donc de môme, a fortiori, de la partie de cette somme qui correspond aux termes positifs et de celle qui correspond aux termes négatifs.

Cela posé, considérons les n premiers termes de la séné donnée, et admettons que, sur ces n termes, il y en ait n! positifs et n" négatifs. Désignons par Sn, S*», S^les trois sommes correspondantes. Nous aurons alors

Sn = S„' — Srt-.

Si Ton fait maintenant croître n indéfiniment, il en sera de même évidemment de n' et de n". Par suite, les trois sommes indiquées marcheront à la fois vers leurs limites S, S', Sr, qu'elles atteindront ensemble, et l'on trouvera finalement

Cette conclusion est indépendante de l'ordre dans lequel on écrit les termes de la série proposée, et il est permis, par conséquent, de choisir celui qui paraîtra le plus convenable.

On peut d'ailleurs, si l'on en doutait, démontrer directement le théorème qui suit.

390. II. Lorsqu'une série, dont les termes ont des signes quelconques, devient convergente quand on les prend tous positivement 9 on peut intervertir arbitrairement V ordre de ses termes, sans que la convergence cesse d'exister et sans que la valeur de la série soit modifiée.

Ce théorème doit être signalé, surtout parce qu'il peut permettre, par un autre groupement des termes, d'obtenir des séries plus rapidement convergentes.

Désignons par (U) la série

(U) «o + "i -H "i H- "j 4-...-H w„ii-h w„ -H an+l-K..-H tt.+*-i +-

telle qu'elle est donnée, et par S sa limite. Désignons par (Q) la série

( 0 ) Ço -4- <7i -+■ Ci + q% H- . . . -f- qn-\ +Çn + 7«+i + • • • >

obtenue en prenant tous les termes de (U) positivement. Désignons enfin par (V) la série

( V ) v0 -h vx -h- v% -f- v% -h . . . -f- *'„ t + ^ + vn+i -+-...,

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. àl'J

formée en disposant d'une manière différente et arbitraire les termes de (U), et soit 1 la limite de (V).

Si Ton considère la somme lm des m premiers termes de (V), on peut toujours prendre m assez grand pour que 2m renferme les n premiers termes de (U), plus m — n autres termes d'un rang plus élevé, de manière à avoir

2m — 8» -h W«-h «p-h Uy-h. . . -f- ax.

On peut admettre d'ailleurs que ces m—n autres termes, les uns positifs, les autres négatifs, soient compris, par exemple, entre ttfl, et un+p.

11 en résultera successivement, les termes de la série (U) étant pris avec leurs signes,

(i) 2m — Sn=zua-±- «p-f- uy +-...-h«x=7a-^^p + 7T4'--H"<A» (a) q*+ qp-h qy + • • •+ qiiçn-+ ?*+t +?«+*-+-.• ~H ?»+/,-!.

Si l'on fait maintenant croître n indéfiniment, il en sera de même de m qui comprend n. Le second membre de l'inégalité (2) et, par suite, son premier membre, aura alors zéro pour limite, quel que soit/>, puisque la série (Q) est convergente (365).

On aura donc aussi, d'après l'égalité (1),

lim(2w-Sn)- o, c'est-à-dire (341)

lim2m— HmSn= o ou 2~S.

Il faut remarquer avec soin que la démonstration qui précède est fondée sur la convergence de la série (Q).

Influence de l'ordre des termes.

391. La réciproque du théorème I (389) . n'est pas vraie, c'est-à-dire qu'on ne peut pas affirmer qu'une série dont les termes ont des signes quelconques et qui devient divergente lorsqu'on les prend tous positivement est réellement divergente : elle peut être convergente.

Il y a ainsi deux espèces de séries convergentes. Dans les unes, la convergence n'est due qu'au décroissement convenable des termes; dans les autres, elle résulte seulement de

la succession des signes. Les premières restent nécessairement convergentes quand on prend tous leurs termes positivement, les secondes deviennent divergentes.

392. Il résulte alors de la démonstration du théorème II (390) que, dans une série convergente, qui ne reste pas telle quand on prend tousses termes positivement (391 ), on n'a plus le droit de modifier l'ordre des termes d'une manière quelconque. Ce serait s'exposer à changer la somme et même la nature de la série.

393. C'est ce que nous allons prouver, en prenant pour exemple la série même employée par Lejeune-Dimchlbt pour justifier cette intéressante et utile observation.

Cette série est la suivante :

w 234^678 in — 1 2/1

Elle est évidemment convergente, car on peut écrire

!~~2~"nV 3 — 4 — 374* 5~~6~~576' 1 1 1

et la série ainsi obtenue

identique à la proposée, est elle-même convergente (370), puisque ses termes sont respectivement inférieurs à ceux de la série