i° Soit la série

1 3.5. ..(in — 0 1.3.5. . .(2/1-f- 1 )

déjà considérée (377, 5°). Nous allons démontrer sa divergence àFaide du théorème IX.

Si on la compare à la série harmonique

2 3 4 n n-hi «-ha "'

il est facile de voir qu'on a ici (385)

Vn-¥\ ^ Mfi-H >

En effet, le premier rapport est égal à et, le second, à — ; — •

Il faut donc prouver que l'on a

2/H-l AI -4- I -f ■ /l 72-1-1

ou - > .

in -h 2 « + 2 + « « + 2

C'est ce qui est évident, puisque est une fraction proprement dite

(Arithm., 196).

La série (U) étant divergente, il en est donc de même de la série (V).

2° Soit la série

2t* 3K- 4t* "* nV- (un-i)^ '"''

déjà considérée (377, 3°).

Nous allons l'étudier de nouveau, très rapidement, à l'aide du théorème X, qui est dû à Cauchy.

En supposant a = 2, on voit (386) que la série (i) sera convergente ou divergente en môme temps que la série

qui n'est autre chose que la progression par quotient, illimitée,

1 h 2^1 "*" altjji-i; ~*~ tfHp-i) "^ 2*^-1) "*"•••'

dont la raison est -j^zp Cette raison sera évidemment inférieure ou supérieure à Vnuité, et la progression sera décroissante ou croissante^ suivant que l'on aura jx > ou < i .

Par suite, la série (i) est convergente pour jjl > i et divergente pour