i° Convergence de la série

Nous avons ici (373)

Ce rapport, plus petit que 1, tend vers la limite zéro, lorsque n croit indéfiniment : la série est donc convergente.

4-00. 20 Limite de V erreur commise sur la somme de la série, en s* arrêtant à un certain terme.

Supposons qu'on s'arrête au terme un inclusivement, et cherchons la limite de l'erreur que l'on commet alors sur la valeur de la série.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 5$Q

On a

et, à partir de ce terme, le rapport d'un terme au précédent est égal, puis inférieur à On a, par exemple,

On peut donc prendre le nombre fixe k < i, au-dessous du-

quel le rapport — ^ finit toujours par tomber en tendant vers

sa limite (371, 373), égal à Alors, le premier terme

négligé wn+i a pour expression kun9 et les suivants sont moindres que k*un, kzun, . . ., de sorte que (371) la limite de Terreur commise en conservant les (/i -+- 1) premiers termes de la série est inférieure {Alg. élém.9 342) à

kun c'est-à-dire à

= -un n

Si Ton désigne par e l'erreur commise en s'arrôtant à un inclusivement, on a finalement

401. 3° La limite de la somme de la série est un nombre incommensurable compris entre i \ et 3.

La somme de la série est comprise entre les nombres 2 \ et 3.

En effet, les trois premiers termes de Ja série constituant une somme égale à 2 -£, la valeur de la série est supérieure à ce nombre.

D'autre part, les termes suivants de la série satisfont évi-

demment aux inégalités

TT27i<2^ 1.2.3.4 23' 1.2.3.4.5 < 2*'

Le reste de la série, au delà du troisième terme, est donc ! inférieur à la limite de la somme des termes de la progression par quotient, décroissante et illimitée, qui a pour premier

terme —t et, pour raison, -, c est-à-dire à

La limite de la série est, par conséquent, inférieure à 2 - -+- -

ou au nombre 3.

Il reste à prouver que celle limite est un nombre incommensurable.

Admetlons, pour un instant, qu'elle soit égale à un nombre

commensurable -• On aurait alors évidemment, p et q élanl des entiers,

iii 1

Multiplions les deux membres de cette égalité supposée par le produit 1 .2.3. . .7. Le* premier membre deviendra le nombre entier />. 1.2. 3. . .(7 — 1). Dans le second membre, tous les

termes, depuis 1 jusqu'à la fraction 5 , se transformeront en nombres entiers dont on représentera la somme par rentier N, et le multiplicateur de la parenthèse se trouvera réduit à l'unité. On aura donc finalement

Mais, à partir du second terme, les différents termes de la parenthèse du second membre sont respectivement inférieurs aux fractions

La parenthèse elle-même est donc inférieure à la limite de la somme des termes de la progression par quotient, décroissante et illimitée,