hi (7 + 0* (7+0* (7 + 0* c'est-à-dire à

quantité qui est une fraction proprement dite.

L'égalité supposée conduirait donc à admettre qu'un nombre entier peut être égal à un autre nombre entier augmenté d'une fraction proprement dite, ce qui est absurde. Cette égalité ne saurait donc subsister, et la limite de la série convergente que nous étudions, ne pouvant être un nombre commensurable, est nécessairement un nombre incommensurable.

C'est ce nombre incommensurable qu'on désigne en Mathématiques par la lettre e.

On a ainsi

e= lirnin 1 1 5 -h. . .H 5 h. .. .

402» Quand on s'arrête inclusivement au terme

ou au terme uq, on conserve q -+• i termes dans la série. Le reste R7+i de la série peut alors se mettre sous la forme

ÏX3T^ L'7 +~i" + (7 + 0(7 + 2) + (7+0(7 + 'O(7 + 3) +'" J ' et l'on a, la parenthèse étant inférieure à - d'après ce qu'on

34 2 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

vient de voir (401),

Rq-ht < -

On retrouve, par cette autre voie, pour la limite supérieure de Terreur commise en s'arrêtant dans la série à un certain terme, le même résultat qu'au n° M)0.

403. Calcul de e. — Proposons-nous d'effectuer le calcul de e, de manière à obtenir C3 nombre incommensurable, dont nous connaissons déjà la partie entière (401), avec neuf décimales exactes.

Nous déterminerons alors, avec dix décimales, chacun des termes que nous devrons conserver dans la série, et nous ferons en sorte que Terreur commise sur chacun d'eux soit inférieure à une demi-unité du dixième ordre décimal, par excès ou par défaut. Lorsque Terreur sera par excès, nous l'indiquerons par un point placé au-dessus du dernier chiffre du terme calculé.

Nous obtiendrons ainsi le Tableau ci-après, qui montre comment on doit déduire chaque résultat du précédent et qui prouve qu'il faut s'arrêter dans la série, eu égard au degré d'approximation demandé, au i4e terme inclusivement, puisque le i5c terme, et les suivants a fortiori, ne peuvent donner aucune unité du dixième ordre décimal.

Les trois premiers termes 2,5oooo ooooo

4? terme, £ de \ o , 16666 66667

5e terme, \ du 4° terme o,o4i66 66667

6e terme, { du 5e terme o,oo833 33333

7e terme, { du 6e terme o,ooi38 88889

8e terme, j du 7e terme 0,00019 84127

9e terme, { du 8e terme 0,00002 48016

10e terme, £ du 90 terme 0,00000 27557

1 ie terme, -fe du 10e terme 0,00000 02756

12e terme, ^ du 11e terme 0,00000 oo25i

i3e terme, ^ du 12e terme 0,00000 00021

i4e terme, ^ du i3e terme 0,00000 00002

Le calcul représenté par ce Tableau est entaché de deux erreurs.

La première est une erreur par défaut, qui répond aux termes négligés dans la série; Puisque nous en conservons les i4 premiers termes, le reste correspondant Ru est moindre

(402) que -zuiz ou que

i3 i.2.3...n.i2.i3 80961270400 c'est-à-dire, a fortiori, moindre que

ou que le huitième d'une unité du dixième ordre décimal.

La seconde erreur provient de la manière même dont nous avons dirigé le calcul, en faisant sur chaque nombre du Tableau une erreur moindre qu'une demi-unité du dernier ordre, par excès ou par défaut.

En comptant les points on voit que, de ce fait, on a commis par excès une erreur moindre que 4* unités du dernier ordre, tandis q\xe9par défaut, Terreur est moindre qu'une unité du même ordre.

On est donc assuré, en ajoutant la première et la seconde erreur, que l'erreur commise sur le dernier chiffre décimal 6 de l'expression obtenue est une erreur par excès qui ne peut dépasser 4 unités du même ordre. Par conséquent, en négligeant ce dernier chiffre, dont la valeur vraie peut varier, d'après ce qu'on vient de dire, de 2 à 6, on est certain d'obtenir la valeur de e par défaut, avec neuf décimales exactes et, très probablement, à moins d'une demi-unité du neuvième ordre décimal.

Cette valeur est donc

En calculant la valeur de e avec vingt décimales exactes, on trouve, en effet,

La valeur de e9 avec neuf décimales, est facile à retenir,

les chiffres qui suivent 2,7 formant la date 1828 deux fois répétée.

Introduction de la variable x dans la série e.