I-Y^IL
comme le premier membre tend vers une limite finie, quel que soit p, pourvu qu'il ne soit pas infini (347), il en est de même du second membre; ce qui vérifie l'énoncé (516).
522. Lorsqu'on remplace l'infiniment principal d'abord choisi par un autre infiniment petit du même ordre, tous les autres infiniment petits engagés dans la question conservent leur ordre.
Soient p un certain infiniment petit du nième ordre, et (3 l'infiniment petit du même ordre que a ou du premier ordre
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4^;
(518), substitué à l'infiniment petit principal a. On a, identiquement,
Chaque facteur du second membre tendant, évidemment, vers une limite finie (516, 517), il en est de même du premier membre (343), et p. comparé à a ou à J3, reste toujours de l'ordre #i.
523. Il n'est pas inutile de remarquer qu'un infiniment petit peut être d'un ordre indéterminé. C'est ce qui arrivera lorsque, en comparant deux infiniment petits a et (3, aucune puissance de l'un d'eux pris comme infiniment petit principal ne pourra être du même ordre que l'autre (516, 517). Le
rapport ^ ne peut, dans ce cas, présenter une limite finie,
différente de zéro, puisque les deux infiniment petits seraient alors du même ordre (517); et tout ce qu'on peut dire, c'est que, si ce même rapport a une limite nulle ou infinie, l'ordre de cl est supérieur ou inférieur à celui de |3 (520).
Exemples d'infiniment petits d'ordres différents.
524. La Géométrie et la Trigonométrie fournissent de nombreux exemples d'infiniment petits d'ordres différents pouvant coexister dans une même question.
L'aire d'un rectangle, dont les côtés sont des infiniment petits du premier ordre, est un infiniment petit du deuxième ordre (521, 2°).
Si l'arc de cercle infiniment petit x est choisi comme infiniment petit principal, sin.r et tang-r sont des infiniment petits du premier ordre (517), puisque l'on a alors (7W-
gon., 104)
sin.r . tang.r
hm = lim — — = i .
La différence i — cosj? est, dans la même hypothèse, un infiniment petit du deuxième ordre (516); car on a, d'une manière générale (Trigon., 66),
sin* —
. .x i — cos.r 2
I — COSJ?;=2Sin2- ou z = 2 — j
4 28 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
c'est-à-dire
i — C0SJ7 .. I 2 1 I
hm -5 — =hmT| — — I = -•
Enfin la différence x — sin# est, à son tour, un infiniment petit du troisième ordre (516); car on a, d'une manière générale (Trigon., 105),
d'où
o< x — sina? < -y-
x — sinjr i °<-p— <4;
jq sin j? i
et le rapport 5 > étant toujours compris entre o et -f
tend nécessairement vers une limite finie différente de zéro.
Nous verrons plus tard que cette limite est exactement^-
On pourrait multiplier ces exemples élémentaires. Nous ne nous y arrêterons pas ici; mais nous considérerons encore la question suivante, dont les résultats sont souvent utilisés.
