DIFFÉRENTE DE ZÉRO

518. Désignons par a l'infiniment petit principal, et par p un infiniment petit du nièna* ordre. On aura à la fois, par définition,

iima^o, limp = o.

Représentons par k une quantité finie quelconque, différente de zéro, et par w une quantité qui tend vers zéro en même temps que a. Nous aurons, par définition (516),

lim-H-

— k ou -£- = k -+- r,),

c'est-à-dire

p = <xn(k + «).

Telle est la forme générale de tout infiniment petit du n» ordre.

Si n — i, on a

p est alors du premier ordre ou du môme ordre (517) que l'infiniment petit principal.

519. On peut avoir à considérer des infiniment petits dont le rapport à une puissance fractionnaire de l'infiniment principal a une limite finie. Leur ordre devient, dans ce cas, fractionnaire.

Si Ton a, par exemple,

p pr=«7(A:H- w),

p est un infiniment petit de Tordre -•

Comparaison des infiniment petits d'ordres différents.

520. Il est évident que, de deux infiniment petits d'ordres différents, celui de l'ordre le plus élevé est infiniment petit par rapport à Vautre.

Soient les deux infiniment petits p et pt rapportés à Tinfiniment petit principal a et, n^ étant plus grand que n, supposons qu'on ait (518)

p = QLn(k+ w), pi = «M*i-l- «t);

on en déduit

p, a"t(*»-mi) = an n *!-+-&), m p a"(A:-l-w) ' Xr-4-w "

La limite de ce rapport est évidemment zéro, puisque Ârt et k sont des quantités finies différentes de zéro, et que toute puissance positive de a, dont l'exposant est un nombre fini, tend vers zéro en môme temps que a (347).

Il résulte de là que pt finit par devenir un infiniment petit relativement à p, de manière à pouvoir être négligé devant lui dans les cas appropriés.

Opérations sur les infiniment petits.

521. Soient des infiniment petits p, pt, ps, ... d'ordres croissants n, nly nt, . . ., rapportés à l'infiniment petit principal a.

i° La somme de plusieurs infiniment petits est du même ordre que celui dont l'ordre est le moins élevé.

On a, en effet,

P + Pt+Pt-*---- P j Pt j pi

Et le premier rapport du second membre tend vers une limite finie (516), tandis que tous les autres rapports tendent vers zéro (520); ce qui justifie l'énoncé.

On peut dire, de même, que la différence de deux infiniment petits est du même ordre que celui dont l'ordre est le moins élevé.

2° Quand on multiplie deux infiniment petits, l'ordre du produit est la somme des ordres des facteurs.

On a, en effet, l'égalité

L II— w< .

Chaque facteur du premier membre tendant vers une limite finie (516), il en est de môme du produit indiqué dans le second membre (343), et l'énoncé est justifié (516).

3° Quand on divise deux infiniment petits, l'ordre du quotient est la différence des ordres du dividende et du diviseur.

On a, en effet, l'égalité

El

Il • P — p .

Chaque rapport du premier membre tendant vers une limite finie, il en est de même du quotient indiqué dans le second membre (344), et l'énoncé est justifié (516).

4° Quand on élève un infiniment petit à une puissance, l'ordre de cette puissance est le produit de V ordre de V infiniment petit par l'exposant de la puissance.

Soit l'infiniment petit p, qui est d'ordre n. Nous aurons, en désignant par p l'exposant de la puissance, l'égalité