CHAPITRE II

DÉFINITIONS DE LA DÉRIVÉE ET DE LA DIFFÉRENTIELLE DUNE FONCTION DUNE SEULE VARIABLE.

Définition de la dérivée.

532. Nous nous sommes occupé précédemment de l'expression de l'accroissement d'un polynôme entier en x et de degré m, suivant les puissances ascendantes de l'accroissement de la variable x. En représentant ce polynôme par F(x) et en désignant l'accroissement de la variable par h, nous avons trouvé (324) l'importante formule

F(ar + *)-F(*)=F,(ar)* + F'(jt) —

Nous avons donné alors au polynôme F'(x) le nom depotynôme dérivé ou de première dérivée de F(x)> et nous avons indiqué suivant quelle loi simple il se déduit de F(^r). De même, F"(x) est la dérivée de F'(x) ou la dérivée seconde de F(x); F"(x) est la dérivée de Ff (j?) ou la dérivée seconde de F' (.r), ou la dérivée troisième de F(x); et ainsi de suite.

533. Cela posé, on peut vouloir chercher le rapport de l'accroissement de la fonction considérée à l'accroissement de la variable. Il suffit, pour l'obtenir, de diviser par h les deux membres de la relation (i). Il vient

(r(*+*)-FW *

+ F(,r)— q+...+FW(j) - • v ' 1.2.3 i.2. 3. ..m

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4^7

La fonction entière ¥(x) étant continue (462), si Ton fait tendre l'accroissement h de la variable vers zéro, en conservant à x une valeur fixe, il en sera de même (4.60) de l'accroissement de la fonction F(x -+- h) — F(#). Mais le rapport des deux accroissements ne sera pas indéterminé {Alg. élém., 116). En effet, la limite du premier membre de la relation (a) est égale à la limite du second membre (334). Dans ce second membre, tous les polynômes dérivés conservant des valeurs finies, tous les termes, à partir du deuxième, tendent vers zéro quand h tend vers zéro (340); et, comme ces termes sont en nombre fini, la limite de leur somme, égale à la somme de leurs limites (342), est zéro. On a donc, pour h infiniment petit,

(3) limF(.r + ^-F(.rW(a;)

Ce qui montre que la dérivée du polynôme entier ¥(x) est, pour une valeur quelconque de x> la limite du rapport de l'accroissement de ce polynôme à V accroissement correspondant de la variable x, lorsque celui-ci tend indéfiniment vers zéro [ou, plus rapidement, puisque la fonction entière ¥(x) est continue, la limite du rapport des accroissements infiniment petits correspondants de la fonction et de la variable].

534. C'est la définition précédente qu'on adopte pour toutes les fonctions d'une seule variable, lors même qu'il serait impossible de les développer suivant les puissances ascendantes de l'accroissement de la variable, comme nous avons pu le faire pour les fonctions entières, telles que F (a?). Et l'on dit que :

La dérivée d'une fonction quelconque de x telle que y—f(x) est, pour une valeur donnée de x, la limite du rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement correspondant de la variable, lorsque celui-ci tend vers zéro.

On représente la dérivée par la notation

fr(x) ou Df(x) ou D/.

Quand il y a plus de deux variables, il peut être utile d'indiquer que la dérivée de la fonction y est prise spécialement

par rapport à la variable x, par exemple, et Ton emploie alors la notation

La dérivée première de la fonction y — f(x) peut admettre, à son tour, une dérivée (532) qui est la dérivée seconde de la fonction. La dérivée seconde peut admettre elle-même une dérivée, qui est la dérivée seconde de la dérivée première ou la troisième dérivée de la fonction; et ainsi de suite. Ces dérivées successives de la fonction, à partir de la deuxième dérivée, seront représentées par les notations

/' (*) ou Df/(*) ou D8/, f (x) ou D»/(*) ou D'j,

/<«>(.*) ou Da/(x) ou Vny.

535. 11 faut nous arrêter sur la définition que nous venons de donner de la dérivée d'une fonction d'une seule variable (53fc). Elle suppose implicitement que la limite du rapport des deui accroissements considérés est, en général, une quantité finie et déterminée; sans quoi, il n'y aurait pas lieu de s'occuper de cette limite.

Nous remarquerons qu'on a été conduit à la découverte du Calcul différentiel, qui n'est autre chose que la théorie des dérivées et des différentielles considérées dans leurs principes et leurs applications, en cherchant une méthode générale pour mener les tangentes aux courbes planes susceptibles d'une expression algébrique.

Supposons la fonction y =/(o?) et construisons la courbe AMB (Jig. 5) qui la représente graphiquement, d'après le procédé indiqué en Algèbre élémentaire (Alg. élém., 312 el suiv.), et en choisissant des axes rectangulaires Ox et Oy.

Les coordonnées x et y des points de cette courbe représentent les valeurs simultanées de la variable x et de la fonction y, et nous admettons que la courbe AMB est réelle et continue dans un certain intervalle, comme la fonction ellemême. Proposons-nous, dans cette hypothèse, de mener la tangente à la courbe au point M, dont les coordonnées sont *=zOPet7 = MP.

Les modernes, depuis Descartes, définissent la tangente en un point d'une courbe, comme étant la limite des positions

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4^9

d'une sécante variable passant par le point donné et par un second point d'intersection avec la courbe, qui se rapproche indéfiniment du premier (Géom., 96).

Prenons donc, sur la courbe AMB, un second point M' voisin du point M, dont les coordonnées soient #' = OP', y' = M'P', et menons par le point M, jusqu'à la rencontre de M'P', la parallèle MN à Taxe Ox.

Fig. 5.

Si nous désignons par h et par k les accroissements correspondants de la variable x et de la fonction /, quand on passe du point M au point M' de la courbe AMB, les coordonnées du point M' deviendront

OP' =OP + PP' =OP-+-MN = x-i-h,

M'P'= NP' + MN = MP +M'N=j'+ k,

et nous aurons