A = MN, * = M'N

Cela posé, le triangle rectangle MNM' donne (Trigon., 142)

UngM'MN=^=4

Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, A diminue et tend indéfiniment vers zéro. En même temps, la sécante M'MS tend indéfiniment vers la tangente IMT au point M, et l'angle M'MN vers l'angle 1MN, qui représente celui que fait cette tangente avec l'axe Qx. Les limites de deux quantités toujours égales étant égales (334), on a donc

Jç

tangIMN = lim tangM'MN = lim r-

Ainsi, la limite de r ouf(x) (534) se trouve représentée par

la tangente trigonométrique de V angle que fait la tangente à la courbe AMB, au point M dont V abscisse est x, avec l'axe Ox, tangente trigonométrique, en général, parfaitement déterminée.

k Si l'on peut calculer la limite derà l'aide de l'équation de

la courbe, la tangente trigonométrique de l'angle IMN sera connue, et la construction de la tangente au point M s'en déduira immédiatement.

Réciproquement, si, la courbe AMB étant construite, on peut lui mener une tangente au point M, la tangente trigonométrique de l'angle IMN fera connaître la valeur de la dérivée de la fonction correspondante y =f(x)> pour x = OP.

Il y a donc identité entre la recherche des dérivées des

fonctions d'une seule variable et celle des tangentes aux

courbes planes qui les représentent, et les dérivées existent

comme les tangentes elles-mêmes.

k Ajoutons que la limite du rapport t ne dépend nullement

de A, mais seulement de la valeur attribuée à x. La dérivée de f(x) sera donc, en général, une nouvelle fonction de x (534).