Soit la fonction

y — sin.z\

Si Ton donne à x un accroissement A.r, y prendra l'accroissement Aj, et l'on aura

/ + Aj=i sin(# -+- A#), d'où, par soustraction,

Aj = sin (x -h Ax) — sin x et, en divisant par Ix, /x Av sin(.r-h A*r) — sina?

(,) si- âï

Lorsque Ix tend vers zéro, il en est de même du numérateur

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4<P

Ay

du second membre de l'égalité précédente. La limite de —

se présente donc sous la forme -•

Pour lever cette indétermination apparente, remarquons que, d'une manière générale (Trigon., 81), on a

p-\-q . /> — q sm/> — sinq = 2 cos sin - - •

En posant

p=zx -+- Aa?, q — x,

on a ici

jP + y , Ar p — q àx

On peut donc remplacer, dans l'égalité (i),

• / a v / Aj?\ . A# sin(.r ■+■ Ix) — sma? par 2 cosl 4? h jsm

11 en résulte, en divisant par 2 les deux termes de la fraction du second membre et en séparant les facteurs,

. Ar

4 , . v sm —

- •< PAC I r» 1 l

■<- z= COS J7 h

Au? \ 2 / Ax

En passant à la limite et en se rappelant que la limite du rapport du sinus à Tare quand l'arc tend vers zéro est l'unité (Trigon., 104), on trouve

-j- = cosj:, dy=zcosxdx* ax

Ainsi, la dérivée du sinus d'un arc est égale au cosinus du même arc.

On voit par là que le sinus augmente quand l'arc croît de o

à -> qu'il diminue quand l'arc croît de - à tc, etc. (Trigon.,

599. Nous indiquerons encore le procédé suivant pour trouver la dérivée de sin.r.

Soient A l'origine des arcs dans le cercle trigonométrique OA et AM l'arc x (fig. 7). Donnons à cet arc l'accroissement MM'= Ax.

4g6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

En menant par le point M la parallèle MN à OA, l'accroissement correspondant Ar de la fonction

y = sin-z = MP sera évidemment représenté par M'N.

Fijj. 7.

Les deux triangles rectangles OPM, MNM', étant semblables, on a