J COS

c'est-à-dire (T/igon., 3fr)

dy- dx

dx dy

■+■ i/i — sin*v -+-

i/l— /r* dx

Pour justifier le double signe, il faut remarquer que, si Ton désigne par y0 l'un des arcs qui ont j? = MP pour sinus (fis* 9)> lous les autres sont compris dans les formules (Trigon., M)

aArtr-h/o et (aA:4-i)7r — y0,

ces arcs se divisant en deux séries, les uns terminés en M, les autres terminés en Mt.

Suivant que Tare y9 considéré spécialement, appartiendra à la première ou à la seconde série, sa différentielle, égale à dy0 ou à — dy0 puisque les constantes disparaissent dans la différentiation, sera donc positive ou négative. Le double signe répond ainsi à la généralité de la question.

Mais, dans la pratique, si l'arc y est désigné d'avance, il n'y a plus d'ambiguïté; car le radical y/i — x* ou >J\ — sin*r, remplaçant cosj, doit recevoir le signe de ce cosinus qui est positif pour les arcs terminés en M et négatif pour les arcs terminés en M,.

610. On peut trouver la dérivée de arc sin par des considérations géométriques.

Soient (Jîg. 9) MP = x et arcAM = y.

Si Ton donne à y l'accroissement MM'= Aj, il en résultera pour/ l'accroissement M'N = Ax; et si by tend vers zéro, l'arc MM' tendra de plus en plus vers sa corde MM'.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5o3

On a d'ailleurs, d'après les triangles semblables MNM', OPM,