Soit la fonction 11 en résulte Par suite

dxz=z— -s\ny df et dy —

j=zarccos#.

x =z cosj.

c'est-à-dire

sïïï/'

dx

dx

±\/i — cos*y y/i — x1

rfy

dx

yi — x* Le double signe est justifié par les mêmes considérations

on déduit

arcsinjr = arccosa?,

arcsmj?d:arccos^F=: -•

La somme ou la différence de arcsina? et de arc cosses! donc égale à une constante. Dans le premier cas, leurs dérivées sont égales et de signes contraires, puisque la dérivée

5o4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

que précédemment (609). Si Ton désigne par y0 l'un des arcs qui ont # = OP pour cosinus (fig. 9), tous les autres soni compris dans les formules ( Trigon., 4-2)

2Â*7r-t-jo et ikn— j0,

ces arcs se partageant en deux séries, les uns terminés en 11, les autres terminés en Mt.

Suivant que Tare y, considéré spécialement, appartiendra à la première ou à la seconde série, sa différentielle sera donc positive ou négative. Le double signe répond ainsi à la généralité de la question.

Mais, dans l'application, si l'arc/ est indiqué, il n'y a plus d'ambiguïté; car le radical \Ji — x1 ou y/i — cos*/, remplaçant sinj, doit recevoir le signe de ce sinus qui est positif pour les arcs terminés en M et négatif pour les arcs terminés en M,. Dans ce cas, la dérivée et la différentielle de arecosjont un signe contraire à celui de sinj.

612. On peut aussi trouver la dérivée de arc cos par des ! considérations géométriques (610). Nous ne nous y arrêterons pas.

Nous remarquerons seulement que, pour une même valeur de x, les dérivées des deux fonctions arc sina? et arc cos* sont, d'une manière générale, égales et de signes contraires ou égales et de même signe. Il est facile d'expliquer ce fait.

Soit y l'un des arcs dont le sinus est x. Les deux arcs

y et y auront alors tous deux x pour cosinus

(Trigon., 8, 19). Des deux relations

arc sm^c = arc cos x,

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5o5

d'une constante est nulle; dans le second cas, leurs dérivées sont égales et de même signe.