Soit la fonction

y z= arc tango;.

Il en résulte

x = tang/.

Par suite (601),

dy

dx = ^} = (f "*" tang^) d*' d'où

. . , dx dx dy \

dy = cos1/ dx :

i -h tang*/ i ■+■ ** dx i-h x*

On voit que la dérivée ou la différentielle de la fonction arc tang ne présente pas de double signe, bien qu'il existe aussi une infinité d'arcs répondant à une tangente donnée. Mais, si l'on désigne par yQ l'un des arcs qui ont x pour tangente, tous les autres sont renfermés dans la formule unique (Trigon., 43)

de sorte que tous ces arcs ont pour unique différentielle dy0,

614. On peut aussi trouver la dérivée de arc tang par des considérations géométriques.

Soient (fîg. 10) AT = x et arc A M =y. Si Ton donne à y l'accroissement MM'= A/, il en résulte pour x l'accroissement TT= Ar; et, si Attend vers zéro, l'arc TN, concentrique à l'arc MM', tend de plus en plus vers sa corde TN.

On a d'ailleurs, d'après les arcs semblables MM', TN, et d'après les triangles TNT', OAT, qui deviennent semblables à la limite,