Nous traiterons deux exemples très. simples

i° Nous avons vu précédemment (583) que l'équation

i ) j1 = ap;r h- C ou y1 — ip x — C = o

représente toutes les paraboles de paramètre p ayant leur axe conondu avec l'axe des x.

Si Ton différence le premier membre de l'équation (i), il vient

a) tydy — zpdx = o ou y~- —p.

La constante C disparaît ainsi d'elle-même, et l'équation (2) remplace l'équation (3) du n° 629. C'est Y équation différentielle déduite de la proposée.

On voit qu'elle exprime (583) que la sous-normale est constante pour toute la famille de courbes représentée par l'équation (1).

a° Soit l'équation

(1) jr*—ipx ou y* — a/?.r=o,

dans laquelle p est supposé avoir une valeur arbitraire, et qui représente une parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet (583).

En différentiant le premier membre de l'équation (1), il vient

(a) lydy — ipdx = o ou jr-^—p-

En éliminant alors la constante arbitraire/? entre les équations (1) et (a), nous obtenons l'équation différentielle (3)

/*\ dy dy

(3) jrt-.zjr^Lx = 0 ou j = ax^.

Si l'on se reporte à la 7%. n, la sous-tangente TP satisfait précisément à la relation

L'équation (3) prouve donc que, dans toutes les paraboles qui ont

même axe et même sommet, la sous-tangente est toujours double de l'abscisse du point de contact, propriété connue (Géom., 755).

l'ig.

631. D'une manière générale, soient m équations entre une variable indépendante x, m fonctions implicites yt z, u9 ...

de celte variable, et m constantes arbitraires C,, C„ C„

Ces m équations seront de la forme

1 A {x,y,zfu, .. .,Ct,Ct,

• • » ^«1> ^ît *-«i> • • • ) — o,

En différentiant les premiers membres de ces équations et en égalant les résultats obtenus à zéro, on a, en divisant par dx, un nouveau groupe de m équations de la forme

dl± -4- iùi £&.' .+. $li d- df* du

dx dy dx dz dx du dx dx dy dx dz dx ~* du dx