Soit, enfin, l'équation

A*fy)=y*— xr=o,

qu'on ne peul pas résoudre par rapport à Tune des variables. On a

-J- =y*ly— yxr~l et -£- = xyx~x — x* Ix,

c'est-à-dire

dy y* ly — yx**1

dx xyx~x — x^lx

On peut simplifier ce résultat en remarquant que, d'après l'équation elle-même, on a

En divisant par cette quantité les deux termes de l'expression et en changeant le signe, il vient

dy__. *.

dx , x

Cas de plusieurs fonctions.

627. Soient maintenant y et z deux fonctions implicites de x, liées à la variable par les deux équations

y et z étant des fonctions déterminées de x, on peut regarder les fonctions / et <p comme des fonctions composées de x9 et leur appliquer séparément le raisonnement précédent (623). On a donc, d'après le même théorème (567), les différentielles des deux fonctions composées devant être nulles, parce que ces fonctions sont constamment nulles,

-f-dx->r if-dy-ï- -fdz=io, dx dy J dz

-~-dx -f- -r-dy -+- -^ dz = o.

dx dy J dz

On obtient ainsi deux équations du premier degré en dy

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5a I

et en dz qui feront connaître ces différentielles en fonction de dx et de x, y, z. Il est commode de mettre les résultats trouvés sous la forme

dx dy dz

dy df dy df ^9 ^f ^9 ^f dy df dy df TfyTîz dz dy dz dx dx dz dx dy dy dx

dy dz On en déduira dy et dz ou les dérivées -^- et ->-•

628. On généralisera facilement ce qui précède. Si l'on a m— -i équations entre m variables, on peut prendre l'une d'elles pour variable indépendante, et les m — i autres variables deviennent des fonctions implicites de cette seule variable indépendante.

Soient les m — i équations

ft(x>y>z,u, ...) =o,

où x est la variable indépendante et y, z, a, . . . , les m — i fonctions implicites de x.

Les différentielles des premiers membres de ces équations devant être nulles, on aura

dAdx +pdy +dJ±dz +pdu +...= o,

dx dy J dz du

P^ +pdf +d£dz +pdu dx dy •* dz du

(M^dx+^^dy^^^dz^d-^du^...^^ dx dy J dz du

En résolvant ce système de m — i équations du premier degré, on pourra obtenir les différentielles dy, dz, du, . . . , en fonction de dx et de x, y, s, u9 ... ; puis, les dérivées dy dz du dx dx dx

Elimination des constantes.

629. Ce qui précède nous conduit à dire un mot de l'élimination des constantes arbitraires qui peuvent faire partie d'un système d'équations.

Soit d'abord l'équation

où C représente une constante arbitraire.

La différentiation du premier membre de cette équation, où y peut être regardée comme une fonction implicite de xy nous a donné

-/-dx-h -y-dy = o dx dy J

ou, si Ton veut, en divisant par dx,

(2) iL + *f*y=0

dx dy dx

En éliminant la constante C entre les équations (i) et (2), j- étant la dérivée partielle du premier membre de l'équation (1) par rapport à xy et -~ la dérivée partielle de ce premier membre par rapport à y, on obtiendra une équation

(3) V^'J'Tu)^0'

entre la variable indépendante x, la fonction y et sa dérivée

dx

L'équation (3) ainsi déduite de l'équation (1) est une équation différentielle.

x et y désignant les coordonnées d'un point rapporté à des

axes rectangulaires, si Ton donne à la constante arbitraire C

une infinité de valeurs, l'équation (1) représente une famille

dy de courbes; et, comme -^- est alors (535) la tangente trigo-

nométrique de l'angle formé par la tangente à la courbe avec l'axe des x, l'équation (3) exprime, dans cette hypothèse,

une propriété de la tangente, commune à toutes les courbes de la famille considérée.

Nous retrouverons ces considérations en Géométrie analyique.