CHAPITRE IX

PROPOSITIONS RELATIVES AUX DÉRIVÉES DES FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE.

632. Avant de passer à l'étude succincte des propriétés relatives aux différentielles d'ordre supérieur, nous démontrerons quelques théorèmes qui nous seront nécessaires par la suite. Nous aurions pu les établir dès le début du cinquième Livre; mais, plus rapprochés des applications que nous aurons à en faire, leur importance sera sans doute mieux appréciée.

633. I. Soit la fonction f (x) gui admet une dérivée f\x) pour toutes les valeurs de x comprises dans un intervalle (a, b)9 et qui s'annule pour x = a et pour x = b. La dérivée f'(x) s'annule alors nécessairement pour une certaine valeur xx de x, comprise dans l'intervalle {a, b).

Puisque f(x) a une dérivée déterminée pour toutes les valeurs de x renfermées dans l'intervalle (a, b)9 elle est continue dans cet intervalle (536).

En laissant de côté le cas où f(x) serait constamment nulle dans l'intervalle considéré et où sa dérivée serait, par conséquent, égale à zéro (538), cette fonction commencera par croître, depuis zéro, en prenant des valeurs positives, ou à décroître en prenant des valeurs négatives, soit à partir de x = a, soit à partir d'une valeur de x comprise entre a et b.

Admettons que/(.r) prenne des valeurs positives. Comme elle doit s'annuler pour x = b, il faut qu'elle diminue après avoir augmenté, c'est-à-dire qu'il existera, entre a et b9 une valeur xx telle, que/(a?t) sera supérieure ou au moins égale aux valeurs voisines

f(xt—h) et /(*!-*- A),

en désignant par h une valeur assez petite pour que xl— h et xx •+- h restent renfermées dans l'intervalle (a, b).

Si f(x) prend au contraire des valeurs négatives, il faut qu'elle augmente après avoir diminué, et il existera, entre a et b, une valeur xv telle, que f(xv) sera inférieure ou au plus égale aux valeurs voisines

f(xl — h) et /(#!-+-/*).

[On pourrait dire aussi que f(x) étant continue admet, dans l'intervalle (a, b), une limite supérieure ou une limite inférieure qu'elle atteint nécessairement pour une valeur xx comprise dans l'intervalle (458, 453)].

Que la fonction prenne des valeurs positives ou négatives, on voit que les différences

/(*!-*)-/(*,) et /(*!+*)-/(*!)

seront nulles ou de même signe.

Les rapports

-A ei A

seront donc nuls ou de signes contraires.

Si l'on suppose que h tende indéfiniment vers zéro, ces deux rapports tendront, par hypothèse, vers la même limite /'(otj). Cette limite /'(a?,), ne pouvant être à la fois positive et négative, est nécessairement nulle, et l'on a

Cette proposition n'est autre chose que le théorème de Rollb, que nous retrouverons plus tard (Alg. sup., a6 Partie).

On remarquera que la démonstration précédente ne suppose pas la continuité de la dérivée f\x); mais seulement que, pour chaque valeur de x comprise dans l'intervalle considéré, elle a une valeur unique et déterminée.

634. II. Soit la fonction /(x) qui admet une dérivée f'(x) pour toutes les valeurs de x comprises dans un certain intervalle. Si x0 et X sont deux valeurs de x comprises dans cet intervalle et si xt est une autre valeur de x comprise entre x0 et X, on a

528 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

En effet, considérons la fonction de x représentée par l'expression

/(*> -/(*.) - (* - *.) /(Xxll(x,) •

Elle s'annule évidemment pour x = x0 et pour x=X. D'ailleurs, pour les valeurs de x comprises entre œ — x% et x = X, elle a une dérivée égale à

A. ~^~ Xq

c'est-à-dire bien déterminée (539). D'après le théorème précédent, cette dérivée doit donc s'annuler pour une valeur xt de x, comprise entre x0 et X. On a, par suite,

(0 ^ifâ^ =/*<*.)•

Nous avons supposé, dans notre démonstration, X>^#; mais la formule trouvée est indépendante de cette hypothèse, puisque la permutation de X et de x0 la laisse identique.

On peut poser

X = x0 4- hy

en désignant par h la différence des deux valeurs X et x0. La quantité xu comprise alors entre x0 et x0-\- h, peut être représentée par x0-{-6h, 0 étant un nombre compris entre o et i, sans être ni l'un ni l'autre. La formule (i) devient ainsi

(a) /(*,+ h) -/(*•) = hf'(x0+ Oh).

635. La proposition qu'on vient d'établir conduit, d'une autre manière, à ce théorème important, déjà démontré

Lorsque la dérivée d'une fonction est constamment nulle dans un certain intervalle, cette fonction se réduit à une constante dans le même intervalle.

En effet, d'après la relation (a) [634], si l'on a/,(j?)=o pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle considéré, on a aussi /'(d?0-*- Oh) = o. Il en résulte

quel que soit h, pourvu que les deux valeurs x0 et x^ + h

soient comprises dans l'intervalle; f(x) conserve donc la même valeur dans cet intervalle et se réduit à une constante.

636. III. Soient f(x) et F(x) deux fonctions qui restent continues pour toutes les valeurs de x renfermées dans un certain intervalle et ont, pour ces valeurs, des dérivées parfaitement déterminées f (x) etFl(x). Si x0 et X sont deux valeurs de x comprises dans cet intervalle et si xt est une valeur de x comprise entre xQet\, on a

/(XJ-/(xL) f'{x{) F(X)-F(*0)-F'(Xif

[Il est entendu que F'{x), qui peut être nulle ou infinie pour x — jr0 ou pour x — X, ne Test pas pour les valeurs intermédiaires.]

Considérons la fonction de x

Elle est nulle évidemment pour x =r: xQ et pour a:-X, et elle admet, dans l'intervalle de ces deux valeurs, la dérivée bien déterminée

J U) * WF(X)-F(*0)

Cette dérivée doit donc s'annuler (633) pour une valeur xt de x, comprise entre x0 et X, de sorte qu'on a

En posant comme précédemment

et en désignant par 0 un nombre compris entre o et i, la formule (i) devient

Puisque X peut être plus grand ou plus petit que x0 (634), h peut être une quantité positive ou négative. Les démonstrations précédentes sont dues à M. Ossian