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Dk C. — Cours. III. 34

53o ALGEBRE SUPÉRIEURE.

637. IV. Lorsqu'une fonction f(x , p)9 contenant un paramètre arbitraire p, reste continue dans un intervalle donné et tend vers zéro, quelle que soit la valeur de x dans cet intervalle, lorsqu'on fait tendre p vers une valeur particulière p0, toutes les dérivées def(xyp) par rapport à x tendent aussi vers zéro, dans le même intervalle, lorsqu'on fait tendre p vers p0.

En effet, on a (634), pour toutes les valeurs de x et de h compatibles avec l'intervalle donné,

f{x -+- h, p) -f(x,p) -= hf\x + dh,p).

Par hypothèse, les deux termes du premier membre de cette relation deviennent nuls pour/? — />©. On a donc, quelles que soient les valeurs de x et de /i, sous la réserve indiquée,

ou, en faisant h = o,

On déduit évidemment de ce résultat que f'{^fp9) est aussi nulle, quelle que soit la valeur de x choisie dans l'intervalle, et, de proche en proche, qu'il en est de même, d'une manière générale, defln>{x,p0).

La fonction donnée de x pourrait renfermer plusieurs paramètres variables, et s'annuler pour des valeurs particulières de ces paramètres. La conclusion serait encore la même*

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