Soit encore l'équation
x et y étant choisies comme variables indépendantes et dx et dy étant supposés constants, z sera une fonction implicite de ces variables. Le même principe (667) permet de poser, pour la différentielle totale de la fonction /,
d'où Ton tirera dz différentielle totale de z9 en fonction de x, y, z, dx, dy.
De même, la différentielle totale du premier ordre de la fonction / étant nulle, la différentielle totale du deuxième ordre le sera aussi; et, en différentiant le premier membre de la relation (1), on aura, en employant immédiatement la forme symbolique (658),
équation d'où Ton tirera d*z en fonction de x, yy z, dx, dy, puisque dz est connue.
Remarquons, en effet, de nouveau, que les dérivées partielles -j-> -4-^-jZ^ sont des fonctions de x, yy z, et que chaque terme de la relation (1) doit être différentié par rap-
port à x, par rapport à y et par rapport à z, dx et dy étant constants, mais non dz.
On différentiera le premier membre de l'équation (2) pour trouver d* z, etc.
669. Au lieu de calculer les différentielles totales, on pourrait chercher comme il suit les différentes dérivées partielles qui y entrent.
Reprenons l'équation
Posons, comme nous l'avons indiqué (665),
dz d:
Il viendra (655)
E=* dï = q-
dz=^dx + Tydy=pdx^qdy'
Nous poserons de même (665)
d*z __ d*z cPz __
dx~*~r' dx~dy~S' dp"t%
de sorte que nous aurons (658), dx et dy étant constants,
ou
d* z = r dx* -h 2s dx dy -h tdy*;
et ainsi de suite.
On voit que la question est ramenée, pour obtenir dz et d*z, à trouver^, q9 r, s, f.
Pour avoir/? et g, on différentiera l'équation (1) en y regardant successivement comme seule variable x et y dont z . est une fonction. On aura ainsi (567), en divisant respectivement les deux résultats par dx et par dy,
a]f dfdz df df dz__
s/**? • ri", riv * ri \s ri r. riv
dx- dz dx
" dy^dzdy '
c'est-à-dire
df df (2) dJ+PdJ="°
df df 61 dj+<*±=°
d'où Ton déduit
dx A dy
dz dz
Pour avoir ensuite r, s, t, on différentiera de nouveau ei dans les mêmes conditions les équations (2) par rapport à j\ puis par rapport à y. Comme la différentiation de la première de ces équations par rapport à y conduit à la même expression que la différentiation de la seconde par rapport à x, nous n'aurons que trois équations distinctes qui seront, en divisant encore respectivement les résultats trouvés par dx et par dy9
ePf d^j dz t d\f dz ^ffdzy ^l^±
dx* dxdz dx ~r dzdx dx dz1 \dx ) dz dx* — *'
d*f ^ <Pf dz ^ d*f dz d>fdz dz^ df d*z
dx dy ' dx dz dy ' dz dy dx dz1 dy dx dz dx dy ~
d}f d\f dz d\f dz ^f(d£\% <iL<P±
dy1 dy dz dy dz dy dy dz1 \dy ) dz dy1
c'est-à-dire
I d-f dy ^d*f df
laSi ^^dAz+Pdï "Hr i = °'
<3> \<sip+i dx^z+Pd^z+^dï+'à^ d*t d}f ,</*/ A d/
dy* ^^d^^^d? +< t* = °-
p et q étant déterminées, les équations (3) donneront successivement et sans élimination les dérivées partielles 'lu deuxième ordre r, s, t.
On pourra continuer de la même manière en différentiant les équations (3).
Il est utile de remarquer qu'on a (567)
dp=l£dx --■£%■<*?= rdx+s d*d<i = dïdïdx + d?dy =*<**+ tdy-
