Reprenons les formules des nos 661 et 662, c'esl-à-dire

j» ^mj* . d*u j j dïu , ,

<T u — -T-r- a c1 H- a , , ac a w -h -r- = ««* dv- dvdw dw1

du ^ du ^ -

H- -7- d1 v -h ^— ûf* cv.

ap au?

On désigne souvent par une seule lettre chacune des dérivées partielles du premier et du deuxième ordre, et l'on pose

du dv

du = * dw

ePu dv*

dïu

dv dw '

dru dw*

Les équations (i) et (a) deviennent ainsi

(i bis) du — p dv -h q dw,

(2 bis) dru — r dv% -\-2sdv dw -h t dw1 -hpcPv-T- qd*w.

Les mêmes formules s'appliquent au cas où v et w se trouvent remplacées par les variables indépendantes xety et la fonction u par la fonction s. On a alors, dx et dy étant supposés constants, c'est-à-dire d*x et cPy étant nuls,

(i ter) dz — pdx-\-q dy,

{2 ter) diz — rdxi-\-2sdxdy-t-tdy*.

666. Admettons enfin que v et w soient fonctions d'une seule variable indépendante x. Il en sera de même de «, et Ton aura

dv ~ T-dx9 dw =z -.— dx, du = -^-dx%

dx dx dx

j. <&v , . ., <Pw . . d*u , m

*v = d&**' *"=d^dx> *" = £?''*■

En substituant dans les formules (i 6w) et (a bis) du numéro précédent et en divisant, la première par dx et I* seconde par dx*, on a d'abord

du dv dw

dx ~~ ^ dx ~r ^ dx }

ce qui est l'expression du théorème des fonctions composées; et, ensuite,

dtu (dv\* dv dw (dw\* dlv d}w

rf.r* \dx ) dx dx \dx ) " dx* ^ dx*

Différentielles des divers ordres des fonctions implicites.

667. Considérons d'abord le cas d'une fonction y de la variable indépendante x, définie par l'équation

Il s'agit de trouver les différentielles successives de y.

y étant une fonction de x9 f(x,y) est une fonction composée, de valeur constante zéro; et, par suite (656), ses différentielles de tous les ordres sont aussi nulles. En regardant dx comme une constante, d'où il résulte

drx—âïx — . . .= o,

on n'a donc qu'à égaler à zéro les différentielles successives du premier membre de l'équation (i). En se reportant au n° 662 et en remarquant que les différentes dérivées partielles sont des fonctions de x et de y, il faut observer avec soin que chaque terme des équations considérées doit être différentié par rapport k x et par rapport à y, dx étant constant, mais non dy.

On trouve d'abord (567, 623)

d'où l'on déduira dy.

Il vient ensuite

car le second terme de l'expression qu'on différentié est un produit composé des deux facteurs variab cette deuxième relation, on déduira d* y.

produit composé des deux facteurs variables -j- et dy; et, de

En poursuivant de même, on a encore

et, de cette troisième relation, on déduira d*y, etc.

On pourrait simplifier l'écriture en réunissant sous la forme symbolique (658) les trois premiers termes de la formule (3) et les quatre premiers termes de la formule (4).

Les formules indiquées feront connaître successivement les différentielles dy, d%y, d*y, ..., et, par suite, les déri-

, * dy d*y <&y

vees correspondantes —-> ~^ -7—» —